probar que un elemento es unitario en un álgebra C *

Question

Deje $p,q$ ser proyecciones en un unital C*-álgebra $A$ y deje $\tilde{A}$ ser la unificación. Me gustaría mostrar que si $p\sim_u q$ (ie $q=zpz^*$ $z$ unitario en $\tilde A$), $q=upu^*$ $u$ unitario en $A$.

El libro procede de la siguiente manera: Set$1_\tilde A$, ya que la unidad en $\tilde A$ $1_A$ la unidad en $A$. Deje $f=1_\tilde A-1_A$. A continuación,$\tilde A=A+\mathbb{C}f$. Suponiendo que $q=zpz^*$ $z$ unitario en $\tilde A$,$z=u+\alpha f$$\alpha\in\mathbb{C}$$u\in A$. Afirma que $u$ es unitaria a partir de un cálculo. Esto es lo que no puedo entender.

Quiero mostrar que la $uu^*=u^*u=1_A$. La solución para $u$ y multiplicar, obtenemos:

$uu^*=(z-\alpha f)(z^*-\bar{\alpha}f)=1_\tilde A-\bar{\alpha}fz-\alpha fz^*-| \alpha|^2f^2$.

Creo que el $f^*=f$, pero necesito saber que la involución en $A^*$ está de acuerdo con la involución en $A$. Creo que esto es cierto, pero no estoy seguro. Sé que no es exactamente una norma que permite a $\tilde A$ $C^*$ álgebra, pero no estoy seguro si la involución es extendido. Suponiendo que es cierto, también podemos ver que $f^2=f$, y por lo que los problemas se reduce a mostrar:

$-\bar{\alpha}fz-\alpha fz^*-| \alpha|^2f=-f=1_A-1_\tilde$.

No sé cómo continuar. He tratado de factoring y el como, pero mi principal problema es que el$\alpha$$\bar\alpha$, además de la $z$ $z^*$ están separados por adición en lugar de la multiplicación así que no se puede simplificar.

Answer 1

Tenemos$\tilde{A} = A \oplus \mathbb{C}$, donde$\tilde{A}$ es un espacio normalizado según la fórmula$$||(a,\lambda)|| = \sup\limits_{b \in A} ||ab + \lambda b||$$ and a $ \ ast$-algebra by the formula $ (a, \ lambda) ^ {\ ast}: = (a ^ {\ ast}, \ overline {\ lambda})$. Identify $ A$ as a subalgebra as $ a \ mapsto (a, 0)$. So the involution is preserved. The identity $ 1 _ {\ tilde A}$ of $ \ tilde {A}$ is $ (0,1)$. So your $ f$ is $$1_{\tilde A} - 1_A= (0,1) - (1_A,0) = (-1_A,1)$$ Assume $ z = (g, \ alpha)$ is unitary in $ \ tilde A$ for some $ g \ en A, \ alpha \ in \ mathbb {C}$. Letting $ u: = g + \ alpha1_A$, we have $$u + \alpha f = (g+\alpha1_A, 0) + (-\alpha 1_A, \alpha ) = (g, \alpha) = z$$ Since $ z $ is unitary in $ \ tilde A$, $$(0,1) = 1_{\tilde A} = (g,\alpha)(g^{\ast}, \overline \alpha) = (gg^{\ast} + \alpha g^{\ast} + \overline \alpha g, |\alpha|^2)$$ So $ | \ alpha | ^ 2 = 1$ and $ gg ^ {\ ast} + \ alpha g ^ {\ ast } + \ overline \ alpha g = 0$. We want to check that $ u = g + \ alpha 1_A$ is unitary in $ A$: $$uu^{\ast} = (g + \alpha 1_A)(g^{\ast} + \overline{\alpha} 1_A) = gg^{\ast} + \alpha g^{\ast} + \overline \alpha g + |\alpha|^2 1_A = 0 + |\alpha|^2 1_A = 1_A $ $