55 Monedas / Joven-Diagrama Reorganización-Adivinanza

Question

este ha sido un enigma difícil de entender para mí la solución de algunos años atrás. Aunque el enigma parece muy fácil.

Usted tiene 55 monedas. Alguien construye un número arbitrario m de pilas de tamaño arbitrario fuera de ellos. Cada paso que usted toma distancia de una moneda de cada pila y de estos se construye una nueva pila con m de monedas. La repetición de este proceso que, finalmente, conseguir diez pilas con el tamaño de la 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 (suma 55). Ahora el procedimiento que se va a reproducir esta constelación.

Pregunta: ¿por Qué esta constelación siempre se producen?

Equivalente a: ¿por Qué no hay otra constelación en la que se reproduce a sí misma alfter una cierta cantidad de pasos? Por ejemplo, supongamos que hubiera sido de 4 monedas. a continuación, $ (1,3) \rightarrow (2,2) \rightarrow (1,1,2) \rightarrow (1,3) $ es un multi-paso del bucle. Si, no habría ningún bucle de múltiples pasos con 55 monedas, no íbamos a llegar a la posición $ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) $, por lo tanto no puede ser un multi-paso del bucle. Por otro lado, si no hay, entonces, después de un número finito de pasos llegamos a la $ (1,2,...,10) $ posición, con el fin de no repetir los mismos en cualquier otra forma, lo que sería contradictorio con la no existencia de multi-paso-de bucles. (No hay ningún otro paso en bucle de la $ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,19) $. La prueba es directa).

Usted puede traducir este problema en los Jóvenes Diagramas. La solución que he oído a algunos que trabajan los matemáticos discutir lo hizo, pero yo no era capaz de seguir los argumentos de. Se reivindica a sí mismos la solución a ser muy duro. Este fue el último enigma de algunos de los grandes matemáticos-riddle concurso, dijeron. Espero que esto no es un duplicado, he buscado en el costado y en la web, pero no he encontrado nada.

Answer 1

Es evidente que el número de pilas tienden a un valor que depende de la raíz cuadrada del número total de monedas. Con un gran número de pilas, estas serán las pequeñas y dentro de un par de pasos será agotado por el re-proceso de apilado; con grandes pilas que esto va a generar más pilas que son destruidos. El más lento en el caso de curso es cuando una gran inicial (o paso-1) de la pila tiene que ser gradualmente reducida.

Entonces, si consideramos que una de apilamiento donde el número de pilas es aproximadamente igual al número de monedas en cada pila, construimos una serie de pilas de aumento de la altura (delta=2 en altura) como las pilas están disminuidos. Una vez que el original pilas se han ido, la variación de la altura de las pilas también se agota poco a poco alternando los pasos a dar un más poco a poco cambiando la altura que se relaja a la formación triangular.

Estos son sólo impresiones iniciales; voy a ir a construir un modelo del proceso y actualización de este punto con más ideas concretas que puedo encontrar.

Answer 2

Hmm. Si el número de pilas es constante, como debe ser el caso en un punto fijo, entonces exactamente a una de las pilas contiene exactamente una moneda, la cual desaparecerá en la próxima etapa (para ser reemplazado por una pila de $m$ monedas). Si hubo múltiples de una moneda de pilas, entonces todos los de una moneda de pilas desaparecería, y el número total de pilas disminuiría.

Una moneda de pila sólo puede ser creado nuevamente si la etapa anterior contenía una sola pila de $55$ monedas, así que en un punto fijo, la moneda de la pila debe previamente han sido dos de la moneda de la pila. Por lo tanto, también debe ser una de dos monedas de la pila en el punto fijo. Sólo puede haber uno, debido a que varias de dos pilas de moneda convertido en uno de los múltiples monedas pilas en la siguiente etapa, y el punto fijo sólo contiene una sola moneda de la pila.

Del mismo modo, el único de dos monedas de la pila debe previamente haber sido un single de tres monedas de la pila, que en virtud del punto fijo debe estar también en la situación actual. A mí me parece que uno puede continuar con esta línea de razonamiento para obtener el punto fijo de la solución de $(10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)$. Sólo triangular números parece que lo tienen de punto fijo soluciones; otros números tienen bucles de longitud mayor que $1$. Por ejemplo, $4$ genera la secuencia de $(3, 1) \to (2, 2) \to (2, 1, 1) \to (3, 1) \to \cdots$.