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Question

Yo estoy haciendo la práctica física examen de calificación de los problemas y llegó a través de esto uno no sabía cómo resolver:

Mostrar que si $f(x)$ es limitado y analítica para $|z|=|x+iy|<1$, luego $$f(\zeta)=\frac{1}{\pi}\int_{|z|<1}\frac{f(z)\,dx\,dy}{(1-\bar{z}\zeta)^2}$$ Sugerencia: en Primer lugar expresar el área de la integral en coordenadas polares, y luego se transforme en uno de los integrales a adecuado de la integral de línea de una función racional que puede ser evaluado mediante el cálculo de los residuos.

He intentado utilizar $z=re^{i\theta}$ y el cachondeo con el integral, pero después de un largo writeout me he quedado con un charco de confusos pensamientos. Podría alguien explicar los próximos pasos?

Answer 1

Puede probar esto con la fórmula verde:$$\int_{|z|=1}F(z)dz=2i\int_{|z|<1}\frac {\partial F}{\partial \bar{z}}dxdy.$ $ con la fórmula de Cauchy Int$$f(\zeta)=\frac{1}{2\pi i }\int_{|z|=1} \frac{f(z)}{z-\zeta}dz.$ $

Dejemos que$F(z)=\frac{f(z)}{z-\zeta}$, en el círculo$|z|=1$, tengamos$z=\frac{1}{\bar z}$, así que$F(z)=\frac{f(z)}{z-\zeta}=\frac{\bar zf(z)}{1-\bar z\zeta}$, por cómputo fácil, podemos obtener$\frac {\partial F}{\partial \bar{z}}=\frac{f(z)}{(1-\bar z\zeta)^2}$. Finalmente, usando la fórmula verde, obtenemos$$f(\zeta)=\frac{1}{\pi }\int_{|z|<1}\frac{f(z)dxdy}{(1-\bar z\zeta)^2}.$ $

Answer 2

La función$$K(\zeta,z)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{(1-\bar{z}\zeta)^2}$ $ se conoce como el núcleo de reproducción de Bergman.

Insinuación:

1. Calcule la expansión de la serie de$g(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$, por ejemplo, utilizando ese$$\frac{1}{(1-x)^2} =\frac{d}{dx}\frac{1}{1-x}$ $

2. Primero pruebe la declaración para$f_n(z)=z^n$, por ejemplo, utilizando el hecho$$\int_0^{2\pi}e^{ikt}dt=0,\text{ for all integers $ k \ ne0$}$ $

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Esperemos dejarte las partes divertidas para ti ...