Evalúa una suma con coeficientes binomiales:$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k \binom{n}{k}^2$

Question

PS

Amplié los coeficientes binomiales dentro de la suma y obtuve$$\text{Find} \ \ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k k \binom{n}{k}^2$ $ ¿A qué es igual? Creo que esto puede ayudarme a evaluar la suma original.

Answer 1

Primero, use$k\binom{n\vphantom{1}}{k}=n\binom{n-1}{k-1}=n\binom{n-1}{n-k}$ $$ \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ kk \ binom {n} {k} ^ 2 = n \ sum_ {k = 0} ^ n (-1) ^ k \ binom {n} {k} \ binom {n-1} {nk} \ tag {1} $$ Luego calcule una función de generación. La suma que queremos es el coeficiente de$x^n$ $$ \begin{align} n\sum_{m,k}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n-1}{m-k}x^m &=n\sum_{m,k}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n-1}{m-k}x^{m-k}x^k\\ &=n\sum_k(-1)^k\binom{n}{k}(1+x)^{n-1}x^k\\ &=n(1+x)^{n-1}(1-x)^n\\ &=n\left(1-x^2\right)^{n-1}(1-x)\tag{2} \end {align} $$ La suma que queremos es el coeficiente de$x^n$ en$(2)$: $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n(-1)^kk\binom{n}{k}^2 &=\left\{\begin{array}{} n\binom{n-1}{n/2}(-1)^{n/2}&\quad\text{if %#%#% is even}\\[6pt] n\binom{n-1}{(n-1)/2}(-1)^{(n+1)/2}&\quad\text{if %#%#% is odd} \end {array} \ right. \\ [6pt] & = n \ binom {n-1} {\ lff lor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {\ lceil n / 2 \ rceil} \ etiqueta {3 } \ end {align} $$

Answer 2

Esto también se puede hacer con un básico de variables complejas técnica. Inicio como en @robjohn la respuesta. Supongamos que buscamos para evaluar $$\sum_{k=0}^n (-1)^k k {n\elegir k}^2 = \sum_{k=1}^n {n\elegir k} (-1)^k k {n\elegir k} \\= \sum_{k=1}^n {n\elegir k} (-1)^k \frac{n}{k} {n-1\elegir k-1} = n \sum_{k=1}^n {n\elegir k} (-1)^k {n-1\elegir k-1}.$$

Introducir la representación integral $${n-1\elegir k-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^k} (1+z)^{n-1} \; dz.$$

Esto le da la siguiente integral por la suma $$\frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \sum_{k=1}^n {n\elegir k} (-1)^k \frac{1}{z^k} (1+z)^{n-1} \; dz \\= \frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \sum_{k=1}^n {n\elegir k} (-1)^k \frac{1}{z^k} \; dz \\= \frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \left(-1 + \left(1-\frac{1}{z}\right)^n \right) \; dz$$

Nos puede caer el $-1$ porque participa en un producto que es todo. Esto deja $$\frac{n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1+z)^{n-1} \frac{(z-1)^n}{z^n} \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1-z) (1+z)^{n-1} \frac{(1-z)^{n-1}}{z^n} \; dz \\ = \frac{(-1)^n}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} (1-z) \frac{(1-z^2)^{n-1}}{z^n} \; dz.$$

De ello se deduce que el valor de la suma es dada por $$(-1)^n n [z^{n-1}] (1-z) (1-z^2)^{n-1}.$$

Para $n$ incluso el $z$ $1-z$ participa y para $n$ impar el participa.

Tenemos para $n$ incluso el resultado $$(-1)^n \times (-1) (-1)^{(n-2)/2} {n-1\elegir (n-2)/2} = n \times (-1)^{n/2} {n-1\elegir n/2-1} \\= n \times (-1)^{n/2} {n-1\elegir n/2}$$ y para $n$ impar $$(-1)^n \times (-1)^{(n-1)/2} {n-1\elegir (n-1)/2} = n \times (-1)^{(n+1)/2} {n-1\elegir (n-1)/2}.$$

Unir estos dos términos, obtenemos $$n \times (-1)^{\lceil n/2 \rceil} {n-1\choose \lfloor n/2 \rfloor}.$$

Un seguimiento de cuándo este método apareció en el MSE, y por el que se inicia en este MSE enlace.