Calculando

Question

He tenido este problema en mi reciente examen y tengo 0 puntos para mi solución y realmente me gustaría saber por qué :)

Calcular el $$\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(2n+1)(n+1)}{3^n}}$$

Mi intento: Consideremos la siguiente serie: $$\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(2n+1)(n+1)}{3^n}x^n}=\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(2n^2+3n+1)}{3^n}x^n}$$ $$\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(2n^2+3n+1)}{3^n}x^n}==\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{2n^2}{3^n}x^n} + \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{3n}{3^n}x^n}+\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{3^n}x^n}$$

Todos los tres de la serie tiene radio de convergencia $R=3$. Transformemos estas series de la siguiente forma: $$\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{1}{3^n}x^n} = \sum_{n=0}^{\infty} {t^n}$$ donde $t=\frac{x}{3}$. Esto se convierte en: $${\frac{1}{1-t}}$$ Para $t=\frac{1}{3}$ esto se convierte en $\frac{3}{2}$. Utilizando la misma lógica que me transformó los dos restantes de la serie: $$\sum_{n=0}^{\infty} {\frac{3n}{3^n}x^n} = 3\sum_{n=0}^{\infty} n{t^n}= 3t\sum_{n=0}^{\infty} n{t^{n-1}}=3t \bigg( \sum_{n=0}^{\infty} {t^n} \bigg)'=3t \bigg( {\frac{1}{1-t}} \bigg)'={\frac{3t}{(1-t)^2}}$$ Conectar $t=\frac{1}{3}$ da $\frac{9}{4}$

Hacer lo mismo para el resto de la serie me da $3$ ( utilizando el mismo método y derivating dos veces ) . Por lo tanto $$\frac{3}{2} + \frac{9}{4}+3 = \frac{27}{4}$$

Lo que está mal con mi método? No tengo explicación real, aunque el resultado es el mismo que el de Wolfram Alpha me dio. Es esto una mera coincidencia que mi resultado es correcto ?

Answer 1

Su solución es correcta, y me parece mal dar $0$ puntos. Sin embargo, hay dos cosas que mejorar si quiere. Una de ellas es que la introducción de ambos $x$ $t$ fue un gasto inútil; usted podría haber considerado $\sum_n(2n+1)(n+1)x^n$ y sustituido $1/3$$x$. La otra es que algo innecesariamente multiplica el producto agradable y, a continuación, había que hacer malabarismos con un montón de diferentes términos con los diferentes órdenes de derivados. La solución más elegante sería

$$\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n+1)(n+1)}{3^n}=\frac12\sum_{n=0}^\infty(2n+1)(2n+2)\left(3^{-1/2}\right)^{2n}$$

con

$$\begin{align} \frac12\sum_{n=0}^\infty(2n+1)(2n+2)x^{2n}&=\frac12\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\sum_{n=0}^\infty x^{2n+2}\\ &=\frac12\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\frac{x^2}{1-x^2}\\ &=\frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3}\;, \end{align}$$

con lo cual, sustituyendo $x=3^{-1/2}$ los rendimientos de su resultado.