Análisis complejo - Funciones racionales

Question

Estoy estudiando para mi examen final y me encontré con este problema: Sean f y g funciones analíticas enteras y |f(z)|<|g(z)| cuando |z|>1. Demuestre que f/g es una función racional.

No sé muy bien por dónde empezar, pero me parece un resultado bastante interesante que no me esperaba.

Answer 1

Primero, $g$ sólo puede tener un número finito de ceros digamos $a_1,\ldots, a_n$ . Y lo que es más importante $g(z)=(z-a_1)\cdots(z-a_n)\cdot h$ donde $h$ es alguna función entera no nula. Pero entonces $|\frac{f(z)}{h(z)}|<|(z-a_1)\cdots(z-a_n)|$ por cada $|z|>1$ . Es decir $\frac{f}{h}$ está limitada por un polinomio. Por lo tanto, $\frac{f}{h}$ es un polinomio, lo que demuestra que $h$ debe ser una constante y que $f$ es un polinomio. Por lo tanto, tanto $f$ y $g$ son polinomios.

$\hspace{1in}$

Teorema. Sea $f$ sea una función entera y $n\in\mathbb{N}$ tal que $|f|\le |z|^n$ . Entonces $f$ debe ser un polinomio.

Prueba. Sea $f(z)=\sum_0^\infty a_k z^k $ demostraremos que el $a_k$ deben ser eventualmente cero; de hecho, serán cero cuando $k>n$ . Realizamos el siguiente cálculo ( $n$ es fijo, $m$ es arbitraria):

$\displaystyle |a_{n+m}|=\left|\frac{f^{(n+m)}(0)}{(n+m)!}\right|=\lim_{R\to\infty} \left|\frac{1}{2\pi i} \int_{B(0,R)} \frac{f(z)}{z^{n+m+1}} dz\right|\le\lim_{R\to\infty} \frac{1}{2\pi} \underset{z\in B(0,R)}{max}\ \left|\frac{f(z)}{z^{n+m+1}} \right|\cdot 2\pi R \le\lim_{R\to\infty} \underset{z\in B(0,R)}{max}\frac{|z|^n}{|z|^{n+m+1}} \cdot R \le\lim_{R\to\infty} \frac{R^n}{R^{n+m+1}} \cdot R = 0$

Así, $a_k=0$ para $k>n$ y así $f$ debe ser un polinomio.

Para el resultado general, observe que cualquier polinomio $|p|\le M\cdot |z|^n$ para algunos $M\in\mathbb{R}$ y $n\in\mathbb{N}$ .

Curiosamente, utilizando la versión real o imaginaria de la fórmula integral de cauchy para los coeficientes de taylor, podemos extender este resultado a la parte real o imaginaria de una función. Es decir, si $f=u+vi$ y $|u|\le |p|$ para algún polinomio $p$ puis $f$ debe ser un polinomio. Incluso podemos (sorprendentemente) dejar de lado los valores absolutos.

Teorema (Markushevich - Volumen 2 - Página 265) Sea $f=u+vi$ . Supongamos que $u(z)\le|z|^n$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ entonces $f$ debe ser un polinomio.