Demostrar que la imagen de una parábola bajo un mapa lineal invertible es una parábola

Question

Una parábola $p$ está determinada por una línea $m$ y un punto $P$ no en esa línea. Deja que $T$ sea un mapa lineal invertible en el plano real. Quiero demostrar que $T(p)$ la imagen de $p$ bajo este mapa, es también una parábola. Hay una forma de hacerlo mediante ecuaciones, pero es muy larga y me imagino que hay métodos más elegantes. En concreto, me gustaría saber cómo encontrar la recta y el punto que determinan la parábola $T(p)$ . ¿Son sólo las imágenes de $m$ y $P$ ?

Esto es para los deberes así que agradezco que se den pistas y no soluciones completas.

Answer 1

EDITAR.

Permítanme añadir un argumento aún más breve, más adecuado para quienes no están familiarizados con la geometría sólida. Mi respuesta original al final.

La ecuación de cualquier sección cónica puede escribirse como $$ \pmatrix{x&y&1}M\pmatrix{x\\y\\1}=0, $$ donde $M$ es una simetría $3\times3$ matriz. Esta sección cónica es una parábola si y sólo si $\det M\ne0$ y $\det M_{33}=0$ , donde $M_{33}$ es la submatriz formada por las dos primeras filas y columnas de $M$ .

Bajo una transformación lineal no singular, cuya inversa está representada por una $2\times2$ matriz $L$ la ecuación de la sección cónica transformada es entonces:

$$ \pmatrix{x&y&1}\hat{L}^TM\hat{L}\pmatrix{x\\y\\1} =\pmatrix{x&y&1}M'\pmatrix{x\\y\\1}=0, \quad\hbox{where}\quad \hat{L}=\pmatrix{L & 0 \\ 0 & 1}. $$

Pero $\det M'=\det(\hat{L}^TM\hat{L})=(\det L)^2\det M\ne0$ y $\det M'_{33}=\det(L^TM_{33}L)=(\det L)^2\det M_{33}=0$ , por lo que la sección cónica representada por la nueva ecuación sigue siendo una parábola.

Por cierto: este argumento muestra que también una elipse y una hipérbola se transforman en una elipse y una hipérbola respectivamente, bajo un mapeo lineal no singular.

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RESPUESTA ORIGINAL.

Una parábola es siempre la intersección entre un determinado cono circular y el plano $(x,y)$ , ese cono que tiene una generatriz paralela al plano.

Puedes ampliar tu mapa lineal bidimensional a un mapa lineal tridimensional no sinular simplemente añadiendo que $z\to z$ : bajo dicho mapa, el cono se transforma en otro cono. Como el mapa es no singular, se puede estar seguro de que sigue existiendo una generatriz del cono transformado que es paralela a $(x,y)$ plano: se deduce que la intersección entre el cono transformado y el plano sigue siendo una parábola.

Nótese que el cono transformado tendrá, en general, una sección normal elíptica. Pero la intersección entre el cono y el plano es en cualquier caso una parábola, si una generatriz es paralela al plano.

Answer 2

Esta es una explicación (tal vez inesperada) que utiliza la llamada representación cuadrática de Bezier de las parábolas.

Resultado (clásico): Cualquier parábola puede recibir la siguiente representación paramétrica:

$$\binom{x}{y}=(1-t)^2\binom{x_A}{y_A}+2t(1-t)\binom{x_B}{y_B}+t^2\binom{x_C}{y_C}.$$

( Convertir un segmento de parábola en una curva cuadrática de Bézier ) ( https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve )

Simbólicamente:

$$\tag{1} M=(1-t)^2 A+2t(1-t)B+t^2 C.$$

donde $A$ y $C$ son puntos distintos de la parábola, y el punto intermedio $B$ es cualquier punto no alineado con $A$ y $B$ (de hecho, es el punto de intersección de las tangentes en $A$ y $C$ ). Denotemos esta curva paramétrica por ${\frak B}(A,B,C)$ es la curva de Bézier definida por los puntos $A,B,C$ .

Ahora, aplicando cualquier transformación lineal (invertible) $L$ a (1) da:

$$\tag{2} L(M)=(1-t)^2 L(A)+2t(1-t)L(B)+t^2 L(C),$$

(2) significa que la imagen de la curva de Bézier ${\frak B}(A,B,C)$ por transformación lineal $L$ es una curva de Bézier ${\frak B}(L(A),L(B),L(C))$ , por lo tanto una parábola.

Observaciones:

1) Dejo como ejercicio el hecho de que $L(A),L(B),L(C)$ no están alineados (el hecho de que $L$ es invertible juegan aquí un papel).

2) La suma de los pesos en la relación (1) es siempre 1:

$$\forall t \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ (1-t)^2 +2t(1-t)+t^2=1 $$

3) De forma más general, una transformación lineal preserva las sumas ponderadas (baricentros): la imagen de una suma ponderada de vectores es la suma ponderada de sus imágenes (con los mismos coeficientes).

Answer 3

Te refieres al enfoque $P$ y la directriz $m$ ? Determinan la parábola $p$ utilizando el lugar de los puntos equidistantes. Por desgracia, en general, los mapas lineales no conservan las relaciones de longitud. Sin embargo, en el artículo de Wikipedia Parábola es la mención de parábola doble que puede ayudar en su prueba. Hay otras posibles propiedades que también puede utilizar en el artículo.

Answer 4

Una pista: Se puede suponer sin pérdida de generalidad que la parábola $P$ es $\stackrel{\sim}{P}\,:y=x^2$ ya que cualquier parábola puede ser llevada a $\stackrel{\sim}{P}$ mediante una combinación de rotación, traslación y escalado.

Por lo tanto, basta con considerar la imagen de $(x,x^2)$ en el caso de que sea invertible $T$ .

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Es difícil dar una pista que no resuelva el problema, pero te animo a que reflexiones sobre la consideración "sin pérdida de generalidad" anterior y pienses en cómo se puede expresar $T$ en términos de transformaciones más simples para las que se sabe que la propiedad deseada se mantiene, individualmente.