Clasificación después de la adición de positiva definida matrices

Question

Tengo dos positivos semidefinite matrices $A$$B$. Es necesariamente cierto que $$ rango(a+B) = rango(A^2+a+B) $$ ?

Es fácil ver que $rank(A+B) \le rank(A^2+A+B)$, pero para cualquier ejemplo de trato, termino con de las filas de ambos lados siempre es igual.

Answer 1

Sí, las dos filas son iguales. Para cualquier positivo semidefinite matriz$P$, $Px=0$ si y sólo si $x^\ast Px=0$. De ello se sigue que $$\ker(A+B)=\ker(A)\cap\ker(B)=\ker(A^2+A)\cap\ker(B)=\ker(A^2+A+B).$$