Intentaré explicárselo como a mi hijo, en cuanto llegue.
Si haces que el mismo péndulo oscile en un círculo horizontal, y lo miras de lado, ves el mismo movimiento armónico. La única diferencia es que permanece a la misma altura todo el tiempo, pero como sólo se trata de pequeños ángulos, no hay mucha diferencia.
Ahora viene, desde arriba (quiero decir: de los adultos), si eres un niño, la aceleración centrípeta:
$$a_c=v^2/r$$
Como adulto puedes comprobar las dimensiones: $m/s^2=(m/s)^2/m$ (SI). De niño, puede que te interese el hecho de que un giro en U al doble de la velocidad es tan difícil como uno con un cuarto de radio. (La capacidad de derivar esta ecuación viene un poco más tarde que la capacidad de entender las proporciones que expresa).
De todas formas, la aceleración gravitatoria (vertical) $g$ y la aceleración centrípeta (horizontal) $a_c$ tirar del péndulo en la misma proporción que la longitud $L$ (para ángulos pequeños!) y el radio $r$ :
$$ \frac {g}{a_c} = \frac {L}{r}$$
(Por supuesto, son las fuerzas que tiran, pero la masa $m$ se anula inmediatamente - un excurso en la equivalencia de la masa gravitacional e intertial podría ser interesante, sin embargo.)
Ya que el movimiento está en un círculo con radio $r$ la velocidad es
$$v=2 \pi r/T$$
para que
$$a_c=4 \pi ^2 r/T^2$$
que sustituido en lo anterior da
$$g= \frac {4 \pi ^2 L}{T^2}$$
q.e.e. (quod erat explicandum)
En esencia, $ \pi $ aparece porque el movimiento armónico puede ser visto como una proyección de movimiento circular.