¿Por qué es $ \pi $ utilizado cuando se calcula el valor de $g$ en movimiento de péndulo?

Question

Estoy tratando de entender intuitivamente por qué $ \pi $ se utiliza cuando se calcula el valor de $g$ usando el movimiento armónico de un péndulo :

$$g ~=~ \frac {4 \pi ^2L}{T^2}.$$

¿Tiene algo que ver con la curvatura? Estoy pensando en algo parecido, así como el hecho de que la oscilación de un péndulo seguiría un camino circular. El valor cuadrado de la misma sería porque se realizó en el espacio 3d.

Sólo busco una comprensión matemáticamente intuitiva de esto.

Answer 1

¿Tiene algo que ver con la curvatura de la Tierra que es que se supone que es esférico

Probablemente te quejarás cuando leas esta respuesta ya que no es tan complicada como crees.

Esencialmente, hay un factor de $ \pi $ desde el angular frecuencia $ \omega = 2 \pi f = \frac {2 \pi }{T}$

Un resultado bien conocido de la problema del péndulo linealizado es que, para pequeños desplazamientos angulares, la frecuencia angular es

$$ \omega = \sqrt { \frac {g}{L}}$$

que se desprende de la ecuación diferencial en el desplazamiento angular $ \theta $ :

$$ \ddot \theta + \frac {g}{L} \sin \theta = 0 \approx \ddot \theta + \frac {g}{L} \theta\ ;, \quad \theta \ll 1$$

Así,

$$ \left ( \frac {2 \pi }{T} \right )^2 = \frac {g}{L} \Rightarrow g = \frac {4 \pi ^2 L}{T^2}$$

Answer 2

Primero noten que simplemente considerando la dimensión de los parámetros involucrados, se puede deducir que el período de tiempo de las oscilaciones debe ir como

$$T \propto\sqrt { \frac { \ell }{g}}. $$ Esto es porque $g$ es la aceleración, por lo tanto tiene las dimensiones de la Longitud sobre el Tiempo al cuadrado y por lo tanto la única manera de que el cociente pueda tener la dimensión del tiempo es tener el cociente bajo un signo de raíz cuadrada.

La constante de proporcionalidad de $2 \pi $ no se puede deducir de esta manera. Para ello hay que resolver la ecuación diferencial implicada para el movimiento. Que resulta tener las funciones "circulares" $ \sin $ y $ \cos $ como soluciones. Así que supongo que se podría decir que el $ \pi $ viene de esas funciones.

Answer 3

Intentaré explicárselo como a mi hijo, en cuanto llegue.

Si haces que el mismo péndulo oscile en un círculo horizontal, y lo miras de lado, ves el mismo movimiento armónico. La única diferencia es que permanece a la misma altura todo el tiempo, pero como sólo se trata de pequeños ángulos, no hay mucha diferencia.

Ahora viene, desde arriba (quiero decir: de los adultos), si eres un niño, la aceleración centrípeta:

$$a_c=v^2/r$$

Como adulto puedes comprobar las dimensiones: $m/s^2=(m/s)^2/m$ (SI). De niño, puede que te interese el hecho de que un giro en U al doble de la velocidad es tan difícil como uno con un cuarto de radio. (La capacidad de derivar esta ecuación viene un poco más tarde que la capacidad de entender las proporciones que expresa).

De todas formas, la aceleración gravitatoria (vertical) $g$ y la aceleración centrípeta (horizontal) $a_c$ tirar del péndulo en la misma proporción que la longitud $L$ (para ángulos pequeños!) y el radio $r$ :

$$ \frac {g}{a_c} = \frac {L}{r}$$

(Por supuesto, son las fuerzas que tiran, pero la masa $m$ se anula inmediatamente - un excurso en la equivalencia de la masa gravitacional e intertial podría ser interesante, sin embargo.)

Ya que el movimiento está en un círculo con radio $r$ la velocidad es

$$v=2 \pi r/T$$

para que

$$a_c=4 \pi ^2 r/T^2$$

que sustituido en lo anterior da

$$g= \frac {4 \pi ^2 L}{T^2}$$

q.e.e. (quod erat explicandum)

En esencia, $ \pi $ aparece porque el movimiento armónico puede ser visto como una proyección de movimiento circular.