Considere la posibilidad de la acción de un grupo finito $G$ por conjugación. Cuál es el carácter de la permutación correspondiente representación $\mathbb C G$? Demostrar que la suma de los elementos de cualquier fila de la tabla de caracteres de $G$ es un número entero no negativo.
Para la primera parte, hay un lema que dice $\chi_{\mathbb CX}(g) = | \{x \in X \ | \ gx = x \}| $. En este caso, $X = G$ y tenemos que $\{ x \in X \ | \ gx = x \} = \{ x \in X \ | \ g x g^{-1} = x \} = C_G(g)$, por lo que el $\chi_{\mathbb CX}(g) = |C_G(g)|$.
Estoy teniendo problemas con la segunda parte. Hay otro lema que dice $\langle 1, \chi_{\mathbb C X} \rangle$ es el número de órbitas de $G$$X$, que en este caso es el número de clases conjugacy (es decir, el número de representaciones irreducibles de $G$). Así que sabemos que el carácter $\chi_{\mathbb C G}$ contiene $n$ copias del carácter trivial en su descomposición, donde $n$ es el número de clases conjugacy / representaciones del grupo. No estoy seguro de si esto es útil, ni a dónde ir desde aquí.
Todas las sugerencias serán bienvenidos. Gracias
