Vamos $\Omega = $ {$\omega_{i}$} ser un conjunto ordenado de $n$ positivos reales en la unidad de intervalo, $\omega_{1} \leq \cdots \leq \omega_{n} \leq 1$. Definir el $n$-simplex $\Delta(\Omega; (\mathbb{R}^{+})^{n})$ por la falta de puntos negativos $(x_{1}, \dots, x_{n}) \subset (\mathbb{R}^{+})^{n}$ que satisfacen la desigualdad \begin{eqnarray} \omega_{1} x_{1} + \cdots + \omega_{n} x_{n} \leq 1. \end{eqnarray} Deje $X$ ser un no-trivial subconjunto de los números enteros $\mathbb{Z}^{n}$. Definir $\Delta(\Omega, X) = X \cap \Delta(\Omega, (\mathbb{R}^{+})^{n})$. Es bien conocido que \begin{eqnarray} |\Delta(\Omega, \mathbb{N}^{n})| \leq \frac{1}{n!} \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{\omega_{i}} \quad \text{and} \quad |\Delta(\Omega, (\mathbb{Z}^{+})^{n})| \leq \frac{1}{n!} \left(1 + \sum_{i = 1}^{n} \omega_{i} \right)^{n} \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{\omega_{i}}, \end{eqnarray} donde $\mathbb{Z}^{+}$ denota el conjunto de enteros no negativos.
Pregunta(s): Para los límites fijados anteriormente, son las más nítidas de los límites conocidos? Dada la similitud en la forma, hay fórmulas para otros $X$ conjuntos, dicen que para enteros mayores que algunos entero arbitrario $c$ o enteros satisfacer algunas de congruencia condición (por ejemplo, $a \equiv b$ mod $d$)?
(Actualización) La teoría de Ehrhart polinomios es relevante para la pregunta anterior.
Pregunta: Supongamos que me gustaría utilizar el Ehrhart maquinaria para contar el número de entero no negativo soluciones de $a_{1} x_{1} + \cdots + a_{n} x_{n} \leq r$ para un entero no negativo, $r$ y enteros positivos {$a_{i}$}. ¿Cómo proceder?
Gracias!
