¿Cómo se puede construir una función de distribución de probabilidad acumulativa de 2 otros?

Question

Me sumerjo en el proyecto de estimación de tiempo y no puede encontrar la intuición. ¿Cuál es la probabilidad acumulada de la distribución de un evento cuando dos tareas independientes tanto se completa correctamente (cuando se realiza en paralelo)?

Tenemos dos funciones de distribución de probabilidad acumulativa en 2 independiente de las variables aleatorias que representan la duración del proyecto desde el principio a la posible fecha de fin (más tiempo, más probable que un equipo completa una tarea):

$$F_1(x) = P(\xi_1 \le x)$$ $$F_2(x) = P(\xi_2 \le x)$$

Qué es:

$$F(x) = P(\xi_1 \le x\ \&\ \xi_2 \le x)$$

¿Cómo puede ser derivado o representados desde/por $F_1$$F_2$?

ACTUALIZACIÓN estoy de acuerdo en que

$$P(\xi_1 \le x\ \&\ \xi_2 \le y) = P(\xi_1 \le x) \cdot P(\xi_2 \le y)$$

para el evento de $(\xi_1, \xi_2) \in R^2$

Pero la idea errónea de venir de valor esperado de eventos conjuntos: ¿cuál es el promedio de tiempo para completar la tarea?

Creo que es:

$$E(X) = \int_0^\infty xf_1(x)f_2(x)dx$$

Anteriormente creo que va a ser$E(\xi_1)\cdot E(\xi_2)$ -, pero esto es incorrecto (se obtiene el tiempo^2 unidad!!) y así la duda sobre la multiplicación de baja como crees que hay algo mal en esa parte.

Answer 1

La pregunta por el tiempo de espera para completar ambos de dos tareas independientes. Llamar a estos tiempos $X_1$$X_2$: son variables aleatorias apoyado en $[0,\infty)$.

Deje $F_i$ ser las funciones de distribución acumulativa (CDF) de la $X_i$:

$$F_i(x) = \Pr(X_i\le x).$$

El tiempo para completar las dos tareas es $Y =\max(X_1,X_2)$. Su CDF está dada por

$$\eqalign{ F_Y(y) = \Pr(Y\le y) &= \Pr(X_1,\le s\text{ y }X_2\le y) \\&= \Pr(X_1,\le y)\Pr(X_2\le y) \\&= F_1(y)F_2(y).}$$

Todas las igualdades surgir a partir de las definiciones: de la CDF, de $Y$, y de la independencia.

Suponiendo que ambas variables $X_1$ $X_2$ son absolutamente continuas, una forma de obtener la expectativa de $Y$ es integrar sobre la distribución conjunta de $(X_1,X_2)$, como se sugiere en la pregunta. Hay maneras mucho más fáciles--como se explica más adelante--, sino para mostrar que se puede hacer de esta manera, vamos a dividir la integral en una integral sobre la $\{(x_1,x_2)\,|\, x_1\ge x_2\}$ y otro más de $\{(x_1,x_2)\,|\, x_1\lt x_2\}$, debido a que en el primer caso $\max(x_1,x_2)=x_1$ y en el segundo caso $\max(x_1,x_2)=x_2$:

$$\eqalign{ \mathbb{E}[Y] &= \mathbb{E}[\max(X_1,X_2)] = \iint_{\mathbb{R}^2} \max(x_1,x_2) dF_1(x_1)dF_2(x_2)\\ &= \int_\mathbb{R}\int_{-\infty}^{x_1} x_1dF_2(x_2)dF_1(x_1) + \int_\mathbb{R}\int_{-\infty}^{x_2} x_2dF_1(x_1)dF_2(x_2) \\ &= \int_\mathbb{R}x_1 F_2(x_1)dF_1(x_1)+\int_\mathbb{R}x_2 F_1(x_2)dF_1(x_2) \\ &= \int_\mathbb{R}y\left(F_2(y)f_1(y) + F_1(y)f_2(y)\right)dy }$$

(escrito $dF_i(y) = f_i(y)dy$).

Sin embargo, esta fórmula es fácil de conseguir, teniendo en cuenta que la expectativa de $Y$ igualmente bien puede encontrar a través de un único integral del producto de la regla de

$$d\left(F_1(y)F_2(y)\right) = \left( F_2(y)f_1(y) + F_1(y)f_2(y)\right)dy,$$

de dónde

$$\mathbb{E}(Y) = \int_\mathbb{R}y \left(d F_y(y)\right) = \int_\mathbb{R} y\left( F_2(y)f_1(y) + F_1(y)f_2(y)\right)dy.$$

Aún más general y la más simple expresión de la expectativa obtiene integrando la función de sobrevivencia $1-F_Y$, debido a que estas variables no negativo de apoyo:

$$\mathbb{E}(Y) = \int_0^\infty(1 - F_Y(y))dy = \int_0^\infty(1 - F_1(y)F_2(y))dy.$$

Este se levanta a las unidades de análisis: las unidades en el integrando de probabilidad (de $1 - F_1(y)F_2(y)$) veces en unidades de $Y$ (de la $dy$ plazo), de donde la integral es en las unidades de $Y$.