¿Existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales tales que $f(x)^2$ tiene menos coeficientes no nulos que $f(x)$ ?

Question

He visto este problema en un conjunto de problemas y no tengo ni idea de cómo proceder de forma factible.

¿Existe un polinomio $f(x)$ con coeficientes reales tales que $f(x)^2$ tiene menos coeficientes no nulos que $f(x)$ ?

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista: ¿Qué ocurre si se considera una serie de Taylor truncada para $\sqrt{1-x}$ ? Por ejemplo:

$$\left(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}-\frac{5 x^4}{128}\right)^2 = 1-x+\frac{7 x^5}{128}+\frac{7 x^6}{512}+\frac{5 x^7}{1024}+\frac{25 x^8}{16384}$$ con aproximadamente el mismo número de coeficientes no nulos. ¿Puede ajustar un par de coeficientes en el LHS para demostrar su afirmación? Por ejemplo: $$\left(1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}+ \frac{x^4}{64}\right)^2=1-x+\frac{7 x^4}{64}-\frac{x^7}{512}+\frac{x^8}{4096}.$$ Sin embargo, para encontrar un polinomio cuyo cuadrado tenga menos términos distintos de cero que el polinomio original, tienes para considerar los polinomios de grado mínimo $12$ .