Mostrar que $-3$ es una raíz primitiva módulo $p=2q+1$

Question

Esta fue una pregunta de un examen:

Deje $q \ge 5$ ser un número primo y asumir que $p=2q+1$ es también el primer. Demostrar que $-3$ es una raíz primitiva en $\mathbb{Z}_p$.

Supongo que la solución pasa algo como esto:

Deje $k$ ser el orden multiplicativo orden de $-3$ módulo p. Utilizando el teorema de Euler vemos que: $(-3)^{2q} \equiv1\ (mod\ p)$. Por lo tanto $k\ |\ 2q$, lo que significa (desde $q$ es primo) que $k=1,\ 2,\ q,$ o $2q$. Obviamente $k \neq 1$$k \neq 2$, ya que de lo contrario vamos a tener $[-3]_p=[1]_p$$[(-3)^2]_p = [9]_p = [1]_p$, respectivamente, lo cual es incorrecto ya que $ p \ge 11$. Lo que queda es demostrar que el $k \neq q$. Por desgracia, no pude averiguar cómo mostrar este.

Answer 1

Sugerencia:

Si $(-3)^q\equiv1\pmod p$,$(-3)^{\frac{p-1}2}\equiv1\pmod p$, por lo tanto $-3$ sería un residuo cuadrático módulo $p$.

Podría escribir esto como

$$\left(\!\frac{-3}{p}\!\right)=1$$ y jugar con la Ley de la Reciprocidad Cuadrática y otras propiedades del símbolo de Legendre.

Esto le permitirá a la conclusión de algo muy interesante.

---

Editar:

Te voy a mostrar cómo personalmente me iba a manejar con los símbolos de Legendre.

Tenemos $$\begin{align}1=\left(\!\frac{-3}{p}\!\right)&=\left(\!\frac{-1}{p}\!\right)\cdot\left(\!\frac{3}{p}\!\right)\\&=(-1)^{\frac{p-1}2}\cdot\left(\!\frac{3}{p}\!\right)\\ &=(-1)^q\cdot(-1)^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}}\cdot\left(\!\frac{p}{3}\!\right)\\ &=(-1)\cdot(-1)\cdot\left(\!\frac{p}{3}\!\right)\end{align},$$ por lo tanto $\left(\!\frac{p}{3}\!\right)=1$, lo que significa que $p\equiv1\pmod3$. Esto implicaría $3\mid p-1=2q$, una contradicción.

Answer 2

Sugerencia: Si $(-3)^q \equiv 1 (mod p)$ $-3$ es un residuo cuadrático módulo $p$ (porque si $\xi$ es una raíz primitiva y $(\xi^k)^q \equiv 1$ $k$ es incluso y $\xi^k$ es una ecuación cuadrática resieue)