La recuperación de un objeto de su categoría

Question

Considerar la categoría de grupos (pero surge la pregunta de para cualquier categoría de objeto matemático, básicamente). Es fácil leer lo que el automorphism grupo de un grupo es o de lo que su cardinalidad es (a partir del número de morfismos de los dos grupo de elementos),

pero, ¿cómo puedo determinar lo que su interior automorphism grupo o, informalmente, ¿cómo puedo determinar qué grupo es realmente?

O, si eso no es precisa, dada una propiedad de los grupos que soy capaz de escribir una frase en la lógica de orden superior (o tal vez incluso más potente de la lógica) que será verdadera sólo en aquellos grupos que tienen la propiedad, ¿cómo puedo estar seguro de que no es una fórmula de la lógica de orden superior (o el más potente de la lógica) que va a ser verdad de que sólo los miembros de la categoría de grupos que tienen la propiedad?

Y si no hay garantía de que esto es posible en el caso de los grupos o en el caso de algún otro tipo de objeto matemático, no se que de alguna manera significa que la categoría de ese tipo de objeto matemático no es realmente la captura de todo acerca de ellos?

Answer 1

En el caso particular de los grupos, puede recuperar el conjunto subyacente de un grupo de $G$ como el Hom-establecer $\text{Hom}(\mathbb{Z}, G)$. En otras palabras, $\mathbb{Z}$ representa el olvidadizo functor $\text{Grp} \to \text{Set}$. Usted puede recuperar las operaciones del grupo en $G$ dotando $\mathbb{Z}$ con la estructura de un cogroup objeto; ver este post en el blog para más detalles. Desde aquí se puede hacer todo lo demás.

En general, una advertencia importante a tener en cuenta es que las categorías no son automáticamente concreto; es decir, que no vienen automáticamente con un olvidadizo functor $C \to \text{Set}$. Algunas propiedades parecen ser las propiedades de los objetos de $C$, pero en realidad son las propiedades de los objetos de $C$ junto con una elección de un functor (por ejemplo, "la cardinalidad del conjunto subyacente"), y, en general, tales functors ni existen ni son únicos. Si quieres hablar sobre dichas propiedades, en cierto sentido, usted necesita proporcionar el functor como datos extra (pero esto es discutible; en otro sentido, el functor es parte de la definición correcta de la propiedad.)

Pero esto es una bendición, no una maldición: el trabajo en el idioma de la categoría de la teoría obliga a reconocer cuáles son las propiedades que no dependen de una elección de concreción, de la misma manera que el trabajo en el lenguaje de la teoría de grupo obliga a reconocer cuáles son las propiedades que no dependen de una elección de la acción de grupo. Este es un ejercicio valioso para la comprensión de las categorías que no tienen una buena selección de concreción (por ejemplo, la categoría de esquemas.)

Otra advertencia importante a tener en cuenta es que a la hora de poner un objeto en una categoría en particular,$C$, que sólo puede aspirar a recuperar el objeto a isomorfismo en $C$. Muchos familiares los objetos matemáticos son miembros de un montón de diferentes categorías. Por ejemplo, $\mathbb{R}$ es

• un grupo de
• un anillo
• un espacio topológico
• un conjunto totalmente ordenado
• un espacio métrico
• un colector de
• un suave colector de
• un grupo topológico
• una Mentira grupo

y así sucesivamente, y ponerla en ninguna de las categorías anteriores sólo le permitirá recuperar hasta el isomorfismo en los correspondientes sentidos.