Una topología que no puede ser obtenido por una función de distancia

Question

Supongamos que definimos una topología en los números reales como el que se obtiene mediante la definición de bloques abiertos a ser aquellos que el complemento es finito. ¿Cómo hace uno para mostrar que esta topología puede ser obtenido a partir de una función de distancia?

Gracias de antemano.

p.s: Esta no es una tarea cuestión. Estoy tratando de auto-estudio, el punto de ajuste de la topología.

Answer 1

Como se mencionó anteriormente, las topologías que se desea son aquellos que no son metrizalbe. Hay varios sistema métrico teoremas que se dan en términos de propiedades de separación de los espacios.

1. Un espacio es la primera contables si cada punto tiene una vecindad base
2. Un espacio es segundo contable, si se tiene una base contable

Todos los espacios métricos son los primeros contables, por lo que si el espacio no es contable, entonces no es metrizable.

Probablemente la más conocida es el teorema de Urysohn del metrization teorema: cada segundo contables, regular, espacio de Hausdorff es metrizable. Hausdorff sólo significa que los puntos pueden ser separados por bloques abiertos y regular significa que (no vacío) de conjuntos cerrados y los puntos pueden ser separados por bloques abiertos.

Una más potente condición es que de la normalidad. Un espacio que es normal si discontinuo conjuntos cerrados pueden ser separados por bloques abiertos. Resulta que todo espacio metrizable son normales.

A primera vista, estos no metrizable espacios parecen patológico ejemplos, pero algunos son muy importantes. Por ejemplo, la topología de Zariski no es metrizable, pero es esencial para el campo de la geometría algebraica.

Answer 2

Trate de mostrar que la métrica de las topologías de Hausdorff y que esta topología no.

Answer 3

La topología se llama el complemento finito de la topología de la recta real: http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_complement_topology . Para demostrar que no es Hausdorff, intente cruzan cualquier dos conjuntos -usted incluso no necesita los puntos de la definición de Hausdorff-, recordando la regla

$$ (X \barra invertida A ) \cap (X \barra invertida B) = X \barra invertida (A \cup B) \ . $$

Tener cualquier Topología estándar de libro en la mano, como Munkres, podría ayudar a su auto-estudio. Por ejemplo, estoy bastante de shure que la prueba de que todo espacio métrico es Hausdorff se puede encontrar allí.