Decimos que un complejo colector de $M$ es de Calabi-Yau si la canónica bunlde es trivial $K_M=0$. ¿Cómo podemos demostrar que el espacio total de la cotangente del paquete de un pequeño complejo colector de $N$ es de Calabi-Yau $2n$-tapa, en $n$ es la dimensión de la $N$?
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user148177
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He aquí una declaración más general desde un punto de vista de la geometría algebraica -- no lo sé, geometría compleja, pero me gustaría esperar las declaraciones de traducir wel. Deje $X$ ser una variedad proyectiva y $\mathcal{E}$ localmente libre de la gavilla. Recordemos que podemos definir el espacio total como $E = \mathcal{Spec}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{Sym}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}^\vee$ y hay un natural mapa de $\pi: E \rightarrow X$.
Quiero expresar la canónica bundle $\omega_E$ en términos de$\mathcal{E}$$\omega_X$: $$\omega_E = \pi^* \omega_X \otimes \pi^* \bigwedge^{top} \mathcal{E}^\vee$$
Para darse cuenta de esto, necesito un resultado así: cada localmente libre gavilla es un subsheaf de una suma de trivial localmente libre de las poleas. Esto nos da una breve secuencia exacta de los (las fibras de) vector de paquetes: $$0 \rightarrow E \rightarrow V \rightarrow T \rightarrow 0$$ donde $V$ es un trivial paquete, que corresponde a una corta secuencia exacta de los localmente libre de poleas $$0 \rightarrow \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{T} \rightarrow 0$$
Ahora, observe que $\mathcal{T}^\vee$ a nivel local es el ideal gavilla corte de $E$$V$. Por lo tanto tensoring con $\mathcal{O}_E$ da $$\mathcal{N}^\vee = \mathcal{Sym}_{\mathcal{O}_X}\mathcal{T}^\vee$$
Y ahora, usando la conormal breve secuencia exacta de los diferenciales y de tomar la parte superior exterior de energía, tenemos (abusando de la notación, el uso de una correspondencia entre la línea de paquetes en $X$ y la línea de bultos en cualquier vector paquete de $X$): $$\omega_E = \omega_X \otimes \bigwedge^{top} \mathcal{T}$$
Por último, utilice el original breve secuencia exacta en la que localmente libre de poleas y en la parte superior exterior de poderes para encontrar ese $\bigwedge^{top}\mathcal{T} = \bigwedge^{top}\mathcal{E}^\vee$ por lo que el resultado de la siguiente manera.
Ahora, para tu pregunta, $\mathcal{E}$ es localmente libre de la gavilla de los diferenciales, por lo que el doble de su superior potencia exterior es $\omega^\vee$, e $\omega^\vee \otimes \omega = \mathcal{O}$ y eso es todo.
