Es esta expresión siempre irracional?

Question

Es cierto que, a

$$\sqrt[a]{2^{2^n}+1}$$

para cada $$a>1,n \in \mathbb N $$

siempre es irracional?

Answer 1

Como lhf notas, solo tenemos que ver que $2^{2^n}+1$ nunca puede ser perfecto en el poder. Sin embargo, desde la $2^{2^n}$ es un poder perfecto, el uso de Mihailescu del teorema de la única pareja perfecta poderes diferentes por $1$$8$$9$, pero $2^{2^n}$ no puede ser igual a $8$ $n$ natural. Por lo que su expresión es, de hecho, siempre irracional.

(Supongo que deben tener en cuenta que el uso completo de Mihailescu del teorema de aquí podría ser una exageración - 2 debe ser un primer demos un relativamente simple argumento... pero bueno, lo que funciona :) )

Answer 2

$\sqrt[a]{m}$ es racional el fib es un entero iff $m$ $a$- ésima potencia.

La cuestión trata con números de Fermat.

Además de la fácil contraejemplos, la Wikipedia dice que incluso una versión más débil de la cuestión es un problema abierto:

Hace un Fermat número de existir, que no es cuadrado-libre?

Answer 3

$$a=1\to 2^{2^n}\in \Bbb Q$$ $$a=2\to \sqrt{2^{2^n}} \in \Bbb Q$$