Un movimiento browniano (1-dim) $(B_t)_{t \geq 0}$ satisface las siguientes propiedades:
- (B0): $B_0=0$ a.s.
- (B1): $(B_t)_t$ tiene incrementos independientes
- (B2): $(B_t)_t$ tiene incrementos estacionarios, es decir $B_{t-s} \sim B_t-B_s$
- (B3): $B_t \sim N(0,t)$
- (B4): $t \mapsto B_t(w)$ continua para casi todos los $w \in \Omega$
Demostrar que $(B0)-(B2),(B4)$ implican que $B_t$ es gaussiano (posiblemente degenerado).
Intenté demostrarlo utilizando el teorema del límite central: Tenemos $$B_t = \sum_{j=1}^n B_{t_j}-B_{t_{j-1}}$$ para $t_j := \frac{j}{n}$ donde $B_{t_j}-B_{t_{j-1}}$ ( $j=1,\ldots,n$ ) son independientes y se distribuyen de forma idéntica por supuesto. Además, $$ \begin{align} \mathbb{E}(B_t) &= n \cdot \mathbb{E}(B_{t_j-t_{j-1}}) \tag{1} \\ \mathbb{V}(B_t) &= n \cdot \mathbb{V}(B_{t_j-t_{j-1}}) \tag{2} \end{align}$$ Así,
$$\begin{align} B_t- \mathbb{E}B_t &\stackrel{(1)}{=} \sum_{j=1}^n (B_{t_j}-B_{t_{j-1}})- \mathbb{E}(B_{t_j-t_{j-1}}) \\ &= \sum_{j=1}^n \frac{\sqrt{\mathbb{V}(B_{t_j}-B_{t_{j-1}})}}{\sqrt{\mathbb{V}(B_{t_j}-B_{t_{j-1}})}} \cdot \bigg((B_{t_j}-B_{t_{j-1}})- \mathbb{E}(B_{t_j-t_{j-1}})\bigg) \\ &\stackrel{(2)}{=} \sqrt{\mathbb{V}(B_t)} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^n \underbrace{\frac{(B_{t_j}-B_{t_{j-1}})-\mathbb{E}(B_{t_j}-B_{t_{j-1}})}{\sqrt{\mathbb{V}(B_{t_j}-B_{t_{j-1}})}}}_{=:G_j^n} \end{align}$$
donde $G_j^n$ ( $j=1,\ldots,n$ ) son independientes y $G_j^n \sim Z^n$ (es decir, idénticamente distribuidos), satisfaciendo $\mathbb{E}Z^n=0$ , $\mathbb{E}((Z^n)^2) = 1$ . Me gustaría demostrar que la matriz triangular $(G_j^n)_{j=1,\ldots,n;n \in \mathbb{N}}$ satisface la condición de Lindeberg-Feller, es decir, que $$\begin{align} \frac{1}{s_n^2} \sum_{j=1}^n \int_{|G_j^n| > \varepsilon \cdot s_n} (G_j^n)^2 \, d\mathbb{P} &\stackrel{\text{iid},(3)}{=} \frac{1}{n} \cdot n \cdot \int_{|Z^n| > \varepsilon \cdot \sqrt{n}} (Z^n)^2 \, d\mathbb{P} \\ &= \int_{|B_{\frac{t}{n}}-\mathbb{E}B_{\frac{t}{n}}|>\varepsilon \cdot \sqrt{n \cdot \mathbb{V}B_{\frac{t}{n}}}} \frac{(B_{\frac{t}{n}}-\mathbb{E}B_{\frac{t}{n}})^2}{\mathbb{V}B_{\frac{t}{n}}} \, d\mathbb{P} \end{align}$$ converge a $0$ como $n \to \infty$ donde $$s_n^2 := \sum_{j=1}^n \mathbb{V}G_j^n = n \cdot \mathbb{E}((Z^n)^2) = n \tag{3}$$ desde $\mathbb{E}((Z^n)^2)=1$ .
De alguna manera, esta convergencia tiene que ser una consecuencia de la continuidad de las trayectorias muestrales (ya que los procesos de Lévy son de distribución normal si tienen trayectorias muestrales continuas). Cómo demostrar que la secuencia converge efectivamente a $0$ ?
En realidad, la distribución de $Z^n$ no depende de $n$ (esto se deduce fácilmente de (B3)) y si se pudiera demostrar esto (sin usar (B3)), la convergencia sería obvia.
