Demuestre que si $A,B$ son medibles, $A\subset E\subset B$ y $m(A)=m(B)$ entonces $E$ es medible.

Question

Aquí está el problema completo:

Supongamos que $A\subset E\subset B$ donde $A,B$ son medibles con medida finita. Demostrar que si $m(A)=m(B)$ entonces $E$ es medible.

En este caso, se trata de un espacio de medidas $(\mathbb{R},\mathcal{M},m)$ . Vengo aquí sólo para ver si esto es una prueba válida. Allá vamos:

Prueba

Tenemos que $m(A),m(B)<\infty$ . Suponiendo $m(A)=m(B)$ tenemos

$$m(A)\leq m(E) \leq m(B)=m(A)$$ $$\implies m(A)=m(E)$$

Desde $A$ es medible, se deduce que $E$ debe ser medible.

Conozco otra forma de demostrarlo, sólo me preguntaba si también era un argumento válido.

Answer 1

¡Tienes que tener cuidado! No puedes escribir $m(E)$ ¡antes de saber que es medible! :)

Así es como yo probaría el resultado:

Por suposición $m(B) - m(A) = 0$ Por lo tanto $m(B \setminus A) = 0$ . Para hacer esto preciso que $A \subset B$ : $$ 0 = m(B) - m(A) = m(A) + m(B \setminus A) - m(A) = m(B\setminus A).$$

Ahora que tenemos esto, denotemos por $m^*$ la medida exterior (que está definida en cada conjunto, por lo que podemos dar sentido a $m^*(E)$ !). Recordemos también que para conjuntos medibles $m^* = m$ .

Para demostrar que $E$ es medible voy a escribirlo como la unión de dos conjuntos medibles: $A$ y $E\setminus A$ . Por supuesto, aún no sabemos si este último es medible, pero se deduce del cálculo anterior y de la integridad de la medida (que supongo que puedo asumir): $$m^*(E \setminus A) \le m^*(B \setminus A) = m(B \setminus A) = 0.$$

Espero haberlo hecho bien :D

Answer 2

Usted asumió que $E$ es medible cuando escribiste $$ m(A) \le m(E) \le m(B) $$ Está claro que si $m(E)$ debe ser igual al valor común de $m(A)$ y $m(B)$ . La cuestión es cómo sabemos que está definido.

Answer 3

Esto es cierto si la medida en cuestión es completa.