En Varadhan la probabilidad de libro, se indica que no existe secuencias de idénticamente distribuidas correlacionadas (varianza finita?) RV tal que el teorema del límite central no se sostiene. El libro no citar un ejemplo, sin embargo. Me preguntaba si tal ejemplo es fácil de construir.
Respuesta
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Considere las variables aleatorias $X_n=Y_n\cdot Z$ cuando la secuencia de variables aleatorias $(Y_n)_n$ es yo.yo.d. cuadrado integrable y centrado, y donde la variable aleatoria $Z$ es de cuadrado integrable y independiente de $(Y_n)_n$. A continuación, la secuencia de variables aleatorias $(X_n)_n$ es de cuadrado integrable, centrado y no guardan relación.
El teorema central del límite aplicado a la secuencia de $(Y_n)_n$ muestra que las variables aleatorias $\frac1{\sqrt{n}}(X_1+\cdots +X_n)$ converge en distribución a $YZ$, donde la variable aleatoria $Y$ es normal estándar e independiente de $Z$.
Cuando la variable aleatoria $Z$ no es casi seguramente constante o una simétrica variable aleatoria de Bernoulli, no hay ninguna razón para esperar que la variable aleatoria $YZ$ a ser normal. Por lo tanto, la convergencia en distribución se mantiene, pero no a una distribución normal.
