Mostrando $\sum_{n=1}^\infty \sin x \sin nx$ es uniformemente acotada

Question

Necesito mostrar que para cada $x$: $$\sum_{n=1}^\infty \sin x \sin nx \lt M$$

Así que la primera cosa que vino a mi mente es la aplicación de un conocido identidad trigonométrica:

$$\sum_{n=1}^\infty \sin x \sin nx = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \cos (x-nx) - \cos(x+nx)$$

Por un segundo pensé que me gustaría obtener un telescópico de la serie, pero no lo es.

¿Qué debo hacer a continuación?

EDITAR
Básicamente estoy tratando de uso aquí de Dirichlet de la prueba para demostrar uniforme converge para las funciones de la serie:

$$f_n(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin x \sin nx}{\sqrt {n+x^2}}$$

Answer 1

Desde $\cos$ es una función par, tiene de hecho un telescópico de la serie:

\begin{align} \sum_{n = 1}^N \sin x\sin (nx) &= \frac{1}{2}\sum_{n = 1}^N \bigl(\cos\bigl((n-1)x\bigr) - \cos \bigl((n+1)x\bigr)\bigr)\\ &= \frac{1}{2}\bigl( 1 + \cos x - \cos (Nx) - \cos \bigl((N+1)x\bigr)\bigr). \end{align}

Answer 2

En esta respuesta, me mostró que

$$\begin{align} \left|\sum_{n=1}^N \sin(nx)\right| \le \frac12\left(1+\left|\cos (\frac{x}{2})\right|\right)\left|\csc\left(\frac{x}{2}\right)\right| \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\begin{align} \left|\sum_{n=1}^N \sin x \sin(nx)\right| &\le \frac12\left(1+\left|\cos (\frac{x}{2})\right|\right)\left|\sin x\csc\left(\frac{x}{2}\right)\right|\\\\ &=\left(1+\left|\cos (\frac{x}{2})\right|\right)\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right|\\\\ &\le2 \tag 1 \end{align}$$

Para el Dirichlet prueba de $f_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n+x^2}}$, sólo se requieren las dos condiciones siguientes:

Condición de $(1)$

La secuencia de $\frac{1}{\sqrt{n+x^2}}$ disminuye monótonamente a cero.

Condición de $(2)$

Las sumas parciales $\sum_{n=1}^N \sin x \sin(nx)$ ser acotado por una constante.

Condición de $(1)$ es trivialmente confirmado, mientras que la ecuación de $(1)$ confirma la Condición de $(2)$.