Prueba: La derivada de $(-1)^{x}$

Question

La derivada para $(-1)^{x}$ es $$\begin{equation} \frac d{dx}\left[(-1)^x\right]=i\pi(-1)^{x} \end{equation}$$ ¿Pero por qué?

¿Qué ocurre con las derivadas de orden superior?

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $$(-1)^{x}=(e^{i\pi})^x=e^{i\pi x}$$

Tenemos $$\dfrac{d}{dx}\left((-1)^{x}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(e^{i\pi x}\right)=i\pi e^{i\pi x}=i\pi(-1)^{x}$$ Para las derivadas de orden superior $$\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}\left((-1)^{x}\right)=(i\pi)^n(-1)^{x}$$

Answer 2

Error 1: La función $(-1)^x$ no está bien definido, incluso si $x$ es un número complejo.

Error 2: No se puede decir $\left( e^{\pi i} \right)^x = e^{\pi i x}$ . La regla de la multiplicación de exponentes no se extiende a los números complejos. De hecho, de lo contrario se tienen problemas como $1^{\pi} = e^{2\pi^2 i}$ lo cual es claramente falso.

Answer 3

Tenemos que $e^{i\pi}=-1$ Así que $(-1)^x=e^{i\pi x}$ Por lo tanto $\frac{d}{dx}e^{i\pi x}=i\pi e^{i\pi x}=i\pi (-1)^x$ .

Es fácil ver que $\frac{d^n}{dx^n}(-1)^x=(i\pi)^n(-1)^x$ .

Answer 4

Observar la función $w=(-1)^z$ Esto es equivalente a $w=e^{z\ln(-1)}$ Ahora, recordando que el logaritmo es una función de varios valores, $$\ln(-1)=\ln\vert(-1)\vert +i\arg(-1)=i(\pi+2\pi n)$$ We see that $(-1)^z$ Is equivalent to $w=e^{i\pi (2n+1)z}$ For all integers $n$. This means, except in special cases, that $(-1)^$ has an infinite number of complex values. If we choose to let n be constant, and define $(-1)^z$ as the resulting single valued function, the complex derivative is equal to $$i\pi (2n+1)e^{i\pi (2n+1)z}$$