La pregunta es si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n \cos(n\pi)}{n}$ donde $\{ a_n \}$ es una secuencia de números positivos que converge a½, converge absolutamente o no.
Mi duda es que no sabemos nada sobre el comportamiento de $a_n$ (si es estrictamente creciente/decreciente o oscilatorio). Aquí es lo que yo estoy pensando, pero no estoy segura de si es lo suficientemente atento a los detalles:
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n\cos(n\pi)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n(-1)^n}{n}$
Estamos interesados en la convergencia absoluta, por lo tanto consideramos que el valor absoluto de la serie, a saber:
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n}{n}$
Caso I: Supongamos $a_n \rightarrow ½$ desde arriba, entonces existe algún $n > N$ tal que $a_n < r$ donde $r<1$, para todos los $n > N$. Como tal,
$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} \frac{(a_n)^n}{n} < \sum_{n=N}^{\infty} \frac{(r)^n}{n} < \sum_{n=N}^{\infty} r^n$,
que es una serie geométrica convergente debido a $r<1$.
&nd, a continuación, de manera similar para para $a_n \rightarrow ½$ de los de abajo. Ahora que lo pienso, probablemente podríamos manejar toda la cosa, en un caso, mediante el uso de valores absolutos, derecho?