El manejo de una secuencia en una serie: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n \cos(n\pi)}{n}$ $a_n \rightarrow \tfrac{1}{2}$

Question

La pregunta es si la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n \cos(n\pi)}{n}$ donde $\{ a_n \}$ es una secuencia de números positivos que converge a½, converge absolutamente o no.

Mi duda es que no sabemos nada sobre el comportamiento de $a_n$ (si es estrictamente creciente/decreciente o oscilatorio). Aquí es lo que yo estoy pensando, pero no estoy segura de si es lo suficientemente atento a los detalles:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n\cos(n\pi)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n(-1)^n}{n}$

Estamos interesados en la convergencia absoluta, por lo tanto consideramos que el valor absoluto de la serie, a saber:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)^n}{n}$

Caso I: Supongamos $a_n \rightarrow ½$ desde arriba, entonces existe algún $n > N$ tal que $a_n < r$ donde $r<1$, para todos los $n > N$. Como tal,

$\displaystyle \sum_{n=N}^{\infty} \frac{(a_n)^n}{n} < \sum_{n=N}^{\infty} \frac{(r)^n}{n} < \sum_{n=N}^{\infty} r^n$,

que es una serie geométrica convergente debido a $r<1$.

&nd, a continuación, de manera similar para para $a_n \rightarrow ½$ de los de abajo. Ahora que lo pienso, probablemente podríamos manejar toda la cosa, en un caso, mediante el uso de valores absolutos, derecho?

Answer 1

Un enfoque.

Deje $0<\epsilon<1$. Desde $\left\{a_n\right\}_{n\geq1}$ converge a $\frac 12$, luego $$ \existe \N\geq0, \forall n\geq N, \left|a_n-\frac 12\right|\leq \epsilon. $$ Tomando por ejemplo a $\epsilon:=\frac14$, $$ |a_n|\leq\left|a_n-\frac 12\right|+\frac 12\leq\frac 34, \quad n\geq N, $$ y $$ |a_n|^n\leq\left(\frac{3}{4}\right)^{n}, \quad n\geq N. $$ Entonces usted puede escribir $$ \left|\sum_{n=N}^{\infty} \frac{(a_n)^n \cos(n\pi)}{n}\right|\leq \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{n} $$ Pero en la derecha tenemos el resto de una serie convergente, por lo tanto en la izquierda handside el resto de nuestra serie puede ser tan pequeño como queramos como $N$ es excelente.

La primera serie es absolutamente convergente.

Answer 2

Sabemos que $\{a_n\}$ es una secuencia de estrictamente números positivos que converge a $\frac{1}{2}$, de modo que puede tomar el valor absoluto de toda la cosa para deshacerse de el coseno plazo, y realizar la Prueba de Comparación con la serie $${\sum_{n=1}^\infty} {a_n}^n$$ which is a geometric series for all $n > N $ for some $$ N, y por lo tanto converge. Sabemos que: $${\sum_{n=1}^\infty} \frac{{a_n}^n}{n} \leq {\sum_{n=1}^\infty} {a_n}^n$$ y el resultado debe caer. Obviamente no es la más rigurosa de la prueba, y que se necesita para elaborar este argumento, sino que debe ser la esencia general de la misma.