¿Encontrar una ecuación característica de PDE de segundo orden?

Question

Cómo encontrar la ecuación característica de la siguiente PDE

PS

Answer 1

Defina$A = \sin^2 x$,$B = \sin{2x}$ y$C = \cos^2{x}$ para que la solución a la ecuación característica diga:

PS

Tenga en cuenta que su ecuación es parabólica ya que$$\frac{\xi_x}{\xi_y} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 -4AC}}{2A} = \ldots = -\cot{x} $ (use la fórmula de doble ángulo), por lo que la otra característica puede ser elegida arbitrariamente . También tenga en cuenta que para$B^2 - 4AC = 0$,$x=0$ explota, pero esto no es un problema ya que para$\cot{x}$, el PDE original se reduce a$x=0$.

Answer 2

Ya que sería demasiado largo (y una pérdida de tiempo) para que se repita la teoría de que se puede encontrar en los libros, el cálculo a continuación se refiere a un documento (páginas 32-41) http://www.math.psu.edu/wysocki/M412/Notes412_5.pdf

Los símbolos que se utilizan aquí son exactamente las mismas que utiliza el papel.

El segundo orden lineal de la PDE considerar es : $$a\;u_{xx}+ 2b\;u_{xy}+ c\;u_{yy}+ d\;u_{x}+ e\;u_{y}+fu=g$$ En el presente caso : $$\sin^2(x)u_{xx}+2\sin(x)\cos(x)u_{xy}+\cos^2(x)u_{yy}=x \quad \quad \text{(1)}$$ $a=\sin^2(x)$ ; $b=\cos(x)\sin(x)$ ; $c= cos^2(x)$ ; $d=e=f=0$ ; $g=x$

Se observa que el$b^2-ac=0$, por lo que, el PDE es de tipo parabólico.

Un cambio de variables $(x,y)\to (\xi,\eta)$ $$u(x,y)=u\left(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta)\right)=w(\xi,\eta)$$ transforma $(1)$ en un PDE en el formulario : $$A\; w_{\xi\xi}+2B\; w_{\xi\eta}+C\; w_{\eta\eta}+ D\; w_{\xi}+ E\; w_{\eta} = G$$ En el presente caso, no hay más plazo, porque la $d=e=f=0$.

El método consiste en la elección de $\xi(x,y)$$\eta(x,y)$, de modo que $A(\xi,\eta)= B(\xi,\eta)=0$, con lo cual simplifica mucho el PDE (es decir: la forma canónica). Siguiendo el principio explicó, $$A=a\xi_x^2+2b\xi_x\xi_y+c\xi_y^2=a(\xi_x -\mu\xi_y)^2=0$$ donde $\mu=-\frac{b}{a}=-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Buscamos la solución de primer orden lineal de la PDE $$\xi_x-\mu\xi_y=0$$ La solución de $\xi$ es constante a lo largo de cada una de las características determinadas por : $$\frac{dy}{dx}=-\mu= \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$ $$y-\ln\left(\sin(x)\right)=constant$$ Esta solución de la ecuación característica, se define la variable $\xi$ $$\xi=y-\ln\left(\sin(x)\right)$$ Por supuesto, podríamos elegir cualquiera de función $F$$\xi=F\left(y-\ln\left(\sin(x)\right)\right)$, pero ¿por qué no elegir la más simple ?

La segunda nueva variable $\eta(x,y)$ es elegido de manera que $$B=a\xi_x\eta_x+b\left(\xi_x\eta_y+\xi_y\eta_x \right)+c\xi_y\eta_y=0$$ En caso de EDP parabólica, esta condición se cumple en la medida en $A=0$ desde el con $B^2-AC=0$, lo que implica $B=0$. Como consecuencia, $\eta(x,y)$ puede ser cualquier función excepto una función de $y-\ln\left(\sin(x)\right)$. En general, en los ejemplos dados en los libros, simplemente elija $\eta=x$ o $\eta=y$.

Sin embargo, es posible lograr una máxima simplificación en tomar ventaja de la libertad en la elección de $\eta(x,y)$. Por ejemplo, es posible eligió $\eta$, de modo que $C=1$ $$C=a\eta_x^2+2b\eta_x\eta_y+c\eta_y^2=1$$ Esto se obtiene con $\eta=\eta(x)$ $\sin^2(x)\left(\frac{d\eta}{dx}\right)^2=1$ $$\frac{d\eta}{dx}=\frac{1}{\sin(x)}$$ $$\eta=\int \frac{dx}{\sin(x)}$$ En resumen, con las nuevas variables
\begin{cases} \xi=y-\ln\left(\sin(x)\right) \\ \eta=\int \frac{dx}{\sin(x)}=-\ln\left(\cot(x)+\csc(x) \right) \\ \end{casos} y teniendo en cuenta la homogeneidad de las EDP $$\sin^2(x)u_{xx}+2\sin(x)\cos(x)u_{xy}+\cos^2(x)u_{yy}=0 $$ se transforma en una forma muy simple de EDP: $$\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}=0$$

Por supuesto, con el fin de encontrar la solución de la no homogénea EDP $(1)$, finalmente para agregar una solución particular, por ejemplo, $U(x)$ $$\sin^2(x)\frac{d^2U}{dx^2}=x$$ $$U(x)=\int\int \frac{x\: dx}{\sin^2(x)}dx $$