Encontrar derivados de las funciones trigonométricas

Question

Me está costando mucho entender cómo encontrar el derivado de las funciones de los trigones. Aquí hay uno que he estado tratando de descifrar durante la media hora: $$y = \frac {11}{ \sin x} + \frac {1}{ \cot x}$$

Sé que $$ \frac {d}{dx}( \sin x) = \cos x$$ y que $$ \frac {d}{dx}( \cot x) = - \csc ^2 x$$

También sé que la respuesta final es $$y' = -11 \csc x \cot x+ \sec ^2 x$$

Pero no importa lo que intente, parece que no puedo dar esa respuesta. Lo que realmente necesito es un enfoque sistemático o paso a paso que pueda aplicar a este tipo de problemas, sin importar el formato en el que se encuentren. Porque hay muchos más como este, excepto en diferentes formatos, que tengo que resolver.

Answer 1

Una pista:

$$y = \frac{11}{\sin x} + \frac{1}{\cot x} = 11\csc x + \tan x$$

Ahora sólo hay que calcular $\;y' = \dfrac{d}{dx}(11\csc x +\tan x)$

---

Como se señala en el comentario que sigue: Cuando se trata de fracciones más complicadas que implican, por ejemplo, sumas o diferencias en el numerador y/o el denominador, se pueden hacer dos cosas:

• comprobar si el numerador o el denominador pueden expresarse de forma equivalente, basándose en identidades trigonométricas (para un ejemplo sencillo: $1 - \sin^2x = \cos^2x$ ;

• utilizar la regla del cociente que querrá tener en su "caja de herramientas": $$\displaystyle\left(\frac {f(x)}{ g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2}$$

Answer 2

La regla del cociente dice $\displaystyle\left(\frac fg\right)' = \frac{f'g-g'f}{g^2}$ y su caso especial, la regla recíproca dice $\displaystyle\left(\frac1g\right)' = \frac{-g'}{g^2}$ .

Se puede aplicar la regla de la reciprocidad a $\dfrac{1}{\sin x}$ y la regla del cociente para $\dfrac{1}{\cot x} = \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ .