Necesito ayuda con inducción fuerte

Question

Sea$(X_n)$ una secuencia dada por la siguiente fórmula de recursión:

PS

Demuestre que para todos los$$X_1 = 3, X_2 = 7,\text{ and }X_{n+1} = 5X_n - 6X_{n-1}$,$n\in\Bbb N$.

Intento:

Para$X_n = 2^n + 3^{n-1}$, tenemos$n = 1$ VERDADERO
Para$2^1 + 3^0 = 3 = a_1$, tenemos$n = 2$ VERDADERO

Supongamos$2^2 + 3^1 = 7 = a_2$ para algunos$X_k = 2^k + 3^{k-1}$.

Ahora para $k\in\Bbb N$:

$$ \begin{align*} X_{k+1} &= 5X_k - 6X_{k-1}\\ &= 5\left(2^k + 3^{k-1}\right) - 6\left(2^{k-1} + 3^{k-2}\right) \end {align *} $$

Answer 1

Sí continuar. Usa$2^k=2\cdot 2^{k-1}$ y asocia los términos: $$ X_ {k +1} = 5 \ cdot (2 ^ k +3 ^ {k-1}) \ - \ 6 \ cdot (2 ^ {k-1} +3 ^ {k-2}) = 2 ^ {k-1} \ cdot (10-6) +3 ^ {k-2} \ cdot (15-6) = \\ = 4 \ cdot 2 ^ {k -1} +9 \ cdot 3 ^ {k-2} = 2 ^ {k +1} +3 ^ k \,. $$