Condición de la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ para que $(a,b)\mapsto | f(a) - f(b)|$ genera una métrica en $\mathbb{R}$

Question

¿Podemos imponer esta condición a la función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ para que $(a,b)\mapsto | f(a) - f(b)|$ genera una métrica en $\mathbb{R}$ ?

Esta pregunta me vino a la mente cuando estaba trabajando en el problema $(a,b)\mapsto | e^{a} - e^{b}|$ es una métrica en $\mathbb{R}$ . Supongo que esto se puede hacer tomando la función inyectiva $f$ . Pero no estoy seguro de si funcionará o no. Ciertamente, esto ayudará a todos en el tratamiento de este tipo de problemas. Necesito ayuda con esto.

Muchas gracias.

Answer 1

Sea $f:\Bbb R\to\Bbb R$ y para $x,y\in\Bbb R$ defina $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$ .

Obsérvese en primer lugar que para cualquier función $f:\Bbb R\to\Bbb R$ y $x,y,z\in\Bbb R$ tenemos $$\begin{align*} |f(x)-f(y)|&=\left|\big(f(x)-f(z)\big)+\big(f(z)-f(y)\big)\right|\\ &\le|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|\;, \end{align*}$$

así que $d$ siempre satisface la desigualdad del triángulo. También está claro que $d(x,x)=0$ para todos $x\in\Bbb R$ y que $d$ es simétrica independientemente de $f$ que usamos. Así, $d$ es siempre un pseudométrico en $\Bbb R$ . Por último, para $d$ para separar puntos, por lo que es necesario y suficiente que $f$ sea inyectiva: esto garantiza que si $x\ne y$ entonces $f(x)\ne f(y)$ y por lo tanto $d(x,y)\ne 0$ . La función $f$ no tiene por qué ser agradable en ningún otro sentido.

Por ejemplo, puede utilizar la siguiente función:

$$f(x)=\begin{cases} \tan^{-1}x,&\text{if }x\in\Bbb Q\\ \tan^{-1}(x+1),&\text{if }x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q\;. \end{cases}$$

Es discontinua en cada punto, y no es suryectiva, pero es inyectiva, y eso es todo lo que importa.

Answer 2

Es necesario y suficiente que $f$ sea inyectiva. Si $f$ es inyectiva, entonces $|f(a)-f(b)|=0$ si $a=b$ y en caso contrario tenemos $a\neq b$ tal que $|f(a)-f(b)|=0$ . Claramente $|f(a)-f(b)|=|f(b)-f(a)|$ por lo que queda comprobar la desigualdad del triángulo. Pero esto se deduce de la simple aplicación de la desigualdad del triángulo para $|\cdot |$ Así que $f$ te da una métrica.