¿Los funtores fieles son simplemente monics en Cat?

Question

Estaba buscando las características de los funtores fieles sin involucrar conjuntos y luego traté de ver si solo eran monics en Cat .

Deje que$F: A\rightarrow B$ sea un functor fiel, y$G_1,G_2:T \rightarrow A$. Luego, si$FG_1$ y$FG_2$ son naturalmente isomorfos, entonces también lo son$G_1$ y$G_1$. ¿Qué pasa si$F$ es monic en Cat? ¿Implica eso su fidelidad?

Supongo que no es cierto porque no puedo encontrar una prueba. Muchas gracias.

Answer 1

Si$F$ es un functor completamente fiel , entonces cualquier isomorfismo$F G_1 \cong F G_2$ es inducido por un isomorfismo único$G_1 \cong G_2$. En otras palabras,$F$ es un monomorfismo$2$ (el$2$ se refiere a la estructura categórica$2$ -% de$\mathsf{Cat}$). Lo contrario también es cierto para los groupoids. En general,$F$ es completamente fiel si cada morfismo$F G_1 \to F G_2$ es inducido por un morfismo único$G_1 \to G_2$, donde$G_1,G_2$ son functores arbitrarios (cuyo dominio de dominio es el dominio de$F$).