Intentar probar que este polinomio de segundo grado no representa todos los enteros positivos

Question

Estoy tratando de probar la siguiente

Conjetura. Existen un número infinito de números enteros positivos $n$ no de la forma $$n=\frac{u^2-u+v^2+3v}{4(u-v)},$$ donde $u$ $v$ son enteros positivos.

La fuerza bruta de cálculo parece apoyar mi afirmación, por ejemplo, para $1 \le u,v \le 1000$, el formulario no representan $${1,2,3,6,13,16,18,22,23,\dots}$$

He hecho algunas manipulaciones algebraicas básicas, pero no he encontrado el conjuro mágico. Cualquier ayuda o sugerencias se agradece.

EDIT: parece que incluso la forma de que el numerador ($u^2-u+v^2+3v$) puede no ser "lo suficientemente universal". Una modificación de la conjetura de que el efecto podría ser más fácil de probar, y evidentemente servir a mis propósitos de bien (ya que si el numerador no representan a todos los enteros positivos múltiplos de $4$, entonces la fracción claramente no puede representar a todos los enteros positivos).

Answer 1

ESTA ES UNA RESPUESTA PARCIAL

Sólo un enfoque, pero demasiado largo para un comentario.

La ecuación $$n=\frac{u^2-u+v^2+3v}{4(u-v)}$$ is equivalent to $$u(4n-u+1)=v(4n+v+3)$$

Así, para cada $n$ , sólo hay finito de números posibles $u$ debido a que el lado derecho es positivo y el lado izquierdo es positivo si y sólo si $u<4n+1$

$n=1$ puede , por ejemplo, debe descartarse, ya que la $u(5-u)$ sólo puede tener los valores de $4$$6$ , pero el lado derecho es claramente, al menos, $8$

Al menos, este enfoque permite comprobar si un valor especial que se produce , en un número finito de ensayos. Ni idea de si una cantidad infinita de $n$ faltan.