Demostrar que $G$ es abeliana.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito tal que todo subgrupo Sylow de $G$ es normal y abeliano.Demuestre que $G$ es abeliana.

Dejemos que $x,y\in G$ .

Caso 1: Si $x,y$ están en el mismo subgrupo Sylow y como se da que es abeliano entonces $xy=yx$ .

Caso 2: Si $x,y$ no están en el mismo subgrupo Sylow, así que supongamos que $x$ está en un Sylow $p$ subgrupo de $G$ diga $P$ y $y$ está en un Sylow $q$ subgrupo de $G$ digamos $Q$ donde $p,q$ son primos distintos.

Ahora $P,Q$ son normales y por lo tanto $xyx^{-1}y^{-1}\in P\cap Q=\{1\}\implies xy=yx$ .

Así, $G$ es abeliana.

¿Es correcta la prueba? Por favor, sugiera las ediciones necesarias.

Answer 1

La prueba requiere un pequeño arreglo, porque parece que asumes que si tomas un elemento de $G$ debe estar en uno de los subgrupos de Sylow. El grupo cíclico de orden $6$ demuestran que no es así, a no ser que $G$ es un $p$ -grupo en sí mismo.

Hay varias formas de hacerlo correctamente.

Se puede utilizar primero el hecho de que para un primo fijo $p$ El Sylow $p$ -subgrupos forman una única clase de conjugación. Así que en su caso para cada $p$ hay un solo Sylow $p$ -subgrupo $S_{p}$ .

Entonces utiliza el hecho elemental de que cada elemento de $G$ puede escribirse como un producto de elementos de orden primo-potencial.

Ahora argumentas así. Deja que $x, y \in G$ . Usted sabe que $x = x_{1} x_{2} \dots x_{n}$ y $y = y_{1} y_{2} \dots y_{n}$ con $x_{i}, y_{i} \in S_{p_{i}}$ . Ya ha demostrado que el $x_{i}, y_{i}$ de viaje al trabajo, así que ya está hecho.

Si conoce los productos directos, realmente está demostrando que $G$ es el producto del $S_{p}$ .