¿Es$A=0$ la única solución para$\exp(A)=I$?

Question

Entonces, obviamente, una solución para$\exp(A)=I$ es$A=0$, sin embargo, ¿es la única solución? Y también si$\exp(A)$ es diagonalizable, ¿esto significa que$A$ es diagonalizable?

Answer 1

No, son infinitamente muchas soluciones de $\exp(A)=I$. Para todo entero $k$ considere la siguiente matriz: $$A_k:=\begin{pmatrix}0&-2k\pi\\2k\pi&0\end{pmatrix}.$$ De hecho, $\exp(A)=I$ si y sólo si $A$ es diagonalizable sobre$\mathbb{C}$$\textrm{Sp}(A)\subseteq 2i\pi\mathbb{Z}$. Lo contrario es fácil de probar y la implicación directa de la siguiente manera a partir de Jordania-Chevalley de descomposición.

Respecto a tu otra pregunta, la respuesta es sí. Esto también se sigue de Jordania-Chevalley de descomposición.

Para ambas preguntas, la observación clave es que si $A=D+N$ es el Jordan-Chevalley descomposición de $A$, $\exp(A)=\exp(D)+\exp(D)(\exp(N)-I)$ es el Jordan-Chevalley descomposición de $\exp(A)$.

Answer 2

Para la primera pregunta: no es cierto en general. Como ejemplo de contador, considere la matriz con entradas complejas: $$ A = 2k \ pi i \begin{bmatrix} m&0\\0&n \end {bmatrix} $$ con$k,m,n$ enteros.

o la matriz con entradas reales: $$ A = 2k \ pi \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end {bmatrix} $$