Lebesgue integral de una función extraña.

Question

La declaración del problema es la siguiente: Deje que$f: [0, 2]\to \mathbb R_{+}$ se defina por$f(t)=m(\{x\in [0, \pi]: t\leq 1+\cos (3x)\leq 3t\}).$ Calcular$\int_0^2 f(t)\,dt$.

No estoy seguro de cómo comenzar a entender esta función, aparte de resolver la desigualdad y encontrar la longitud de los intervalos de solución resultantes. Esto no parece llevar a ningún patrón agradable. ¿Existe un teorema fundamental para las integrales de Lebesgue? ¿Qué tengo que hacer?

Answer 1

Por Fubini-Tonelli, podemos intercambiar el orden de integración de la siguiente manera:

$$ \begin{align*} \int_0^2 f(t)\mathsf dt &= \int_0^2 m(\{x\in[0,\pi]: t\leqslant 1 + \cos(3x) \leqslant 3t\} \mathsf dt\\ &= \int_0^2 \int_0^\pi \chi_{\{t\leqslant 1 + \cos 3x\leqslant 3t\}}(x)\mathsf dx\,\mathsf dt\\ &= \int_0^\pi \int_0^2 \chi_{\{t\leqslant 1 + \cos 3x\leqslant 3t\}}(t)\mathsf dt\,\mathsf dx. \end {align *} $$ Ahora, tenemos$0\leqslant t\leqslant 2$ y$t\leqslant 1+\cos3x\leqslant 3t$. Como$0\leqslant 1+\cos3x\leqslant2$ para cualquier$x$, esto es equivalente a$$\frac13(1+\cos3x)\leqslant t \leqslant 1+\cos3x.$ $ Por lo tanto, la integral es igual a $$ \ int_0 ^ \ pi \ int _ {\ frac13 (1+ \ cos3x)} ^ {1+ \ cos3x} \ mathsf dt \, \ mathsf dx = \ int_0 ^ \ pi \ frac23 (1+ \ cos3x) \ mathsf dx = \ frac {2 \ pi} 3. $$