Estoy aprendiendo acerca de $\sigma$-álgebras y estaba interesado cuando mi libro de texto se menciona brevemente en la imposibilidad de la construcción de la Borel $\sigma$-álgebra de $\mathbb{R}$, $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, a partir de los intervalos abiertos en countably muchos pasos. Más precisamente, vamos a $\mathcal{L}_0$ ser la colección de todos los intervalos de $(a,b)\subseteq\mathbb{R}$. Dado $\mathcal{L}_i$, definimos $$\mathcal{L}_{i+1}=\bigg\{\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k, \Big(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k\Big)^{c}\ :\ A_k\in \mathcal{L}_{i} \bigg\}\ \ \ \text{ and } \ \ \ \hat{\mathcal{L}}=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}\mathcal{L}_i$$
Entonces mi libro de texto dice que $\hat{\mathcal{L}}\subsetneqq\mathcal{B}(\mathbb{R})$.
Mi pregunta es esta: ¿puede uno (fácilmente) presentan un conjunto de Borel no en $\hat{\mathcal{L}}$? Es necesario el uso de maquinaria pesada como CA o CAD con el fin de construir un conjunto? Estoy bastante atascado.
Muchas gracias!
