Teorema 3.27 de Rudin del libro Principios de análisis matemático en las páginas 61-62 estados que,
Supongamos $a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge 0.$, Entonces la serie de $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si y sólo si la serie $\sum_{k=0}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+8a_{8}+\cdots$ converge.
Yo podría seguir todos los argumentos a excepción de la última frase, que es
Por (8) y (9), las secuencias de $\left\{ s_{n}\right\}$ $\left\{ t_{k}\right\}$ son ambos delimitada o ambos sin límites.
Aquí (8) y (9) son
(8) Para $n<2^k$, $s_n \le t_k$.
(9) Para $n>2^k$, $2s_n \ge t_k$.
donde $s_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$, $t_{k}=\sum_{i=0}^{k}2^{i}a_{2^{i}}.$
¿Por qué son los dos secuencias de cualquiera de los dos delimitada o ambos sin límites? El (8) parece implicar que si $t_k$ converge, entonces $s_n$ converge. El (9) parece implicar que si $s_n$ converge, entonces $t_k$ converge. Yo no podía más argumentos para ver cómo la última frase obras.
Gracias por cualquier ayuda.
Por CIERTO, para $n=2^k$, parece como $s_n \le t_k$.
