demostrar que $n^2 \bmod 4 = 0$ o $1$ para todos los números enteros

Question

(Utilice el hecho de que todo número entero es par o impar para demostrar que $n^2 \bmod 4 = 0$ o $1$ para todos los números enteros)

Sea $n \in \mathbb{Z}$ entonces $n$ es par o impar.

Caso 1: ( $n$ es impar): Por definición de impar $n = 2j + 1$ con $j \in \mathbb{Z}$ entonces $(2j + 1)^2 = (4j^2 + 4j + 1)$

Por definición de mod $4j^2 + 4j + 1 = 4q + r$

$\forall q, r \in \mathbb{Z}$ y $0 \le r \le q$

$4(j^2 + j) + 1 = 4q + r$

$4(j^2 + j) - 4q = -1 + r$

$4(j^2 + j - q) = -1 + r$

Sea $s \in \mathbb{Z}$ con $s = j^2 + j - q$ entonces

$4s = -1 + r$

Así que por definición de divisibilidad $4$ divide $n^2$ con un remanente de $1$

Tengo la sensación de que lo he entendido mal y de que me he liado a tortas para obtener una respuesta. Pero no me dieron ninguna marca aquí:

caso 2: ( $n$ es par):

Me equivoqué en esta sección.

¿Puede alguien ayudarme a resolver esta prueba que estaba en mi examen?

Answer 1

Si $n$ es incluso $\implies n=2k\implies n^2=(2k)^2=4k^2\equiv 0 \pmod 4$ .

Si $n$ es impar $\implies n=2k+1\implies n^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1\equiv 1 \pmod 4$

Answer 2

Si $n$ es par entonces $n=2m$ y $(2m)^2=4m^2\equiv 0\pmod{4}$ .