¿Es tan trivial ver que una secuencia de variables aleatorias es mutuamente independiente?

Question

Libro de Grinstead y Snells, Introduction to Probability, página 144:

Aquí hay una serie de preguntas cortas que tengo sobre este texto:

0) Los autores dicen que consideran "clases especiales de variables aleatorias variables aleatorias", una de las cuales es la clase de senderos indepedientes. Creo que esto es impreciso: Deberían haber dicho "clases de secuencias de variables aleatorias". ¿Qué opinas?

1) El $X_j$ son funciones $X_j:R\times R\times \ldots \times R \rightarrow \mathbb{R}$ ¿No es así?

2) Deberían haber especificado que $R\subseteq \mathbb{R}$ ya que de lo contrario el $j$ -la proyección no está bien definida: $X_j(\Omega)\subseteq \mathbb{R}$ pero $R\ni \omega_j \not\in \mathbb{R}$ .

3) En la segunda línea de abajo no debería decir "resultado $(\omega_1,\ldots,\omega_n)$ En lugar de eso $(r_1,\ldots,r_n)$ ? (El $r$ también se utilizan ya para definir $R=\{r_1,\ldots,r_s\}$ )

4) Lo más importante Es que trivial ver (penúltima línea) que las variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ ¿formar un proceso de juicios independientes? En efecto, es fácil ver que tienen la misma distribución, pero demostrar que son mutuamente independientes requiere algo de trabajo.

Answer 1

0) Que tiene razón formalmente. 1) No, $X_j:R^n\to R$ y de hecho, $X_j$ es la proyección sobre el $j$ coordenadas. 2) No, ver arriba. 3) En efecto, debería decir $(\omega_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ con cada $\omega_j$ en $R$ ya que los autores se encargaron de explicar que $\omega$ es el elemento de funcionamiento de $\Omega=R^n$ . 4) La respuesta depende de su definición de trivial pero que el resultado se mantiene debería estar claro para cualquiera que esté decidido a comprobarlo por sí mismo con un bolígrafo y una hoja de papel.