¿La estructura algebraica del anillo de matriz completa está preservada por cada endomorfismo de álgebra de Lie?

Question

Deje $A = \mathcal M_n(k)$ a la totalidad del álgebra de matrices sobre un campo $k$. Si $\phi:A\to A$ es un valor distinto de cero endomorfismo de $A$ como una Mentira álgebra, debe ser automáticamente un endomorfismo de $A$ como unital $k$-álgebra?

Si no, ¿cuáles serían las condiciones necesarias?

EDITAR Como TorstenSchoeneberg señaló en los comentarios, una condición necesaria es que la $\phi$ es la identidad en $k$. Este podría ser también una condición suficiente?

Answer 1

Respuesta corta: Esto es cierto (al menos en característica cero) si y sólo si $\phi$ está dado por la conjugación con algunos de la matriz.

Deje $k$ ser un campo de característica $0$, y vamos a llamar a $\mathfrak{gl}_n(k)$ la Mentira de álgebra, sino $M_n(k)$ asociativas unital álgebra de $n \times n$-matrices de más de $k$ (es decir, es el mismo conjunto e incluso $k$-espacio vectorial, pero la estructura multiplicativa es diferente). Deje $\phi$ ser un endomorfismo de $\mathfrak{gl}_n(k)$.

Con $\mathfrak{sl}_n(k)$ denota aquellas matrices en $\mathfrak{gl}_n(k)$ de traza $0$, se observa que tenemos una descomposición

$$\mathfrak{gl}_n(k) \simeq \mathfrak{sl}_n(k) \oplus k \cdot Id$$ dado por $x \mapsto (x - \frac1n tr(x), \frac1n tr(x))$. Esta es una descomposición de la $k$-espacios vectoriales e incluso de álgebras de Lie, pero (para $n \ge 2$) no de álgebras asociativas.

Debido a $\mathfrak{sl}_n(k)$ es la derivada de Lie de álgebra, y $k \cdot Id$ es el centro de la $\mathfrak{gl}_n(k)$, ambos espacios son en realidad invariantes bajo $\phi$, y basta para investigar las restricciones $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)}$ e $\phi_{k\cdot Id}$. Como se discute en los comentarios, $\phi_{k\cdot Id}$ puede ser cualquier multiplicación escalar, pero para $\phi$ a ser un endomorfismo de $M_n(k)$, que necesariamente tiene que ser la identidad, así que vamos a suponer que a partir de ahora.

Ahora desde $\mathfrak{sl}_n(k)$ es simple, o tenemos $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)} = 0$o $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)}$ es un automorphism.

• Si $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)} =0$, es decir, $\phi = \frac1n tr$ es sólo la proyección en el segundo sumando, $\phi$ no es un endomorfismo de $M_n(k)$ para $n \ge 2$ (porque por ejemplo, hay un matrices en $\mathfrak{sl}_n(k)$ cuyo asociativa del producto tiene un no-cero de seguimiento).

• Si $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)}$ es un automorphism, es un interior o un exterior.

  • Si se trata de un interior de uno, por definición, es dado por la conjugación con algunos $g \in GL_n(k)$, y por lo tanto, obviamente, es también un automorphism de $M_n(k)$ dado por $\phi(x) = gxg^{-1}$.

  • Si $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)}$ es un exterior automorphism, tenemos $n \ge 3$ y hasta conjugación como más arriba hemos $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)}$ ser el negativo de la transposición: $\phi_{\mathfrak{sl}_n(k)}(x) = -x^t$. Pero, por ejemplo, $E_{12}\cdot E_{23} = E_{13}$ mientras que $-E_{21}\cdot -E_{31} = 0$, por lo que este no tiene la oportunidad de ser multiplicativa incluso en el traceless matrices.