Calcula la serie de Laurent para:$(8z+6+8i)/(2z^2-3z-4iz)$

Question

Tengo que encontrar el Laurent-de la Serie con $0<|z|<5/2$ e $z_0=0$para: $$\frac{8z+6+8i}{2z^2-3z-4iz}$$

Yo ya hice esto: $$ \frac{8z+6+8i}{2z^2-3z-4iz} = \frac{A}{2\cdot(z-0)}+ \frac{B}{2\cdot(z-1.5-2i)}\\ A=-2 \text{ y } B=6 \\ \frac{8z+6+8i}{2z^2-3z-4iz} = -1\cdot\frac{1}{z} + 3\cdot\frac{1}{z-1.5-2i} $$ Espero que esto es correcto. Mi libro dice que la fórmula para una Laurent de la Serie es : $$\sum_{k=1}^{\infty} a_k\cdot\frac{1}{[z-z_0]^k} + \sum_{k=0}^{\infty}b_k\cdot[z-z_0]^k=\sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}\cdot[z-z_{0}]^{k}$$

Pero no tengo Idea de lo que tengo que hacer ahora.

Espero que alguien me pueda ayudar.

Gracias!

Answer 1

Usted está en el camino correcto. Después de la descomposición (por favor, marque sus cálculos), $$\frac{8z+6+8i}{2z^2-3z-4iz}=-\frac{2}{z}+\frac{12}{2z-(3+4i)}= -\frac{2}{z}-\frac{\frac{12}{3+4i}}{1-\frac{2z}{(3+4i)}}$$ debe expandir $(1-\frac{2z}{(3+4i)})^{-1}$ a $z=0$ (tenga en cuenta que es holomorphic en el disco $|z|< |(3+4i)/2|=\sqrt{2^2+4^2}/2=5/2$) como $$\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{2z}{(3+4i)}\right)^k.$$ Se puede tomar desde aquí?