¿Por qué no puedo subponer$a=0$ en esta expresión?

Question

Yo estaba haciendo un problema de matemáticas de Internet que participan de la función de $$J(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$

El objetivo del problema fue el uso de la relación $J''(a)-J(a)=0$ (diferenciación con respecto a los $a$) para evaluar la siguiente integral: $$I=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x)}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$

Sin embargo, parte del problema de encontrar el valor de $J'(0)$ a resolver el por encima de segundo orden de la ecuación diferencial para encontrar $J(a)$. El argumento es como sigue: $$\begin{align}J'(a) &=\int_{0}^{\infty}\frac{-x\sin(ax)}{1+x^2}\mathrm{d}x \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{-(x^2+1-1)\sin(ax)}{x(1+x^2)} \mathrm{d}x \\ &= -\int_{0}^{\infty}\frac{\sin (ax)}{x} \mathrm{d}x+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x(1+x^2)}\mathrm{d}x \end{align}.$$

Dejando $a \rightarrow 0$ desde el lado positivo, $J'(0)=-\pi/2$ utilizando el resultado estándar de $$\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\sen(ax)}{x}\right)\mathrm{d}x = \pi/2, \text{ para }>0 $$

Entonces podemos resolver la ecuación diferencial, encontramos que $$J(a)=(\pi/2)e^{-a}$$ for $a>0$ and hence find $I$.

Mi pregunta es, ¿por qué es necesario encontrar $J'(0)$ de esta manera? Lo que no está claro para mí por qué no podemos simplemente sustituto $a=0$ en la primera expresión para $J'(a)$ y la conclusión de $J'(0)=0$.

Solo tengo un entendimiento informal de los límites, por favor, mantenga esto en mente.

Answer 1

Este es un problema sutil. El principal problema es ilustrado por el resultado final, $J(a) = \frac{\pi}{2} \mathrm{e}^{-|a|}$ para $a \in \mathbb{R}$ . $J$ tiene una cúspide en el origen, por lo que (como se ha mencionado por el usuario en los comentarios) $J'(0)$ no existe! Con el fin de hacer sentido de este cálculo necesitamos la noción de convergencia uniforme de las integrales impropias con un parámetro, el cual es discutido aquí (PDF) en gran detalle.

Vamos a empezar con la función de $J$ sí. La integral por la que se define converge absolutamente uniforme en $\mathbb{R}$ por la de Weierstrass M-test, por lo $J$ es una función continua en a$\mathbb{R}$ . También sabemos que $J(0) = \frac{\pi}{2}$ e $J(-a) = J(a)$ presionado por $a \in \mathbb{R}$ .

Ahora tenemos que encontrar la derivada de $J$ . En el origen tenemos en cuenta la diferencia cociente $$ \frac{J(a) - J(0)}{a} = - \operatorname{sgn}(a) \int \limits_0^\infty \frac{1-\cos(|a|x)}{|a|(1+x^2)} \, \mathrm{d} x \stackrel{|a| x = y}{=} - \operatorname{sgn}(a) \int \limits_0^\infty \frac{1-\cos(y)}{a^2+y^2} \, \mathrm{d} y $$ para $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ . El final de la integral converge absolutamente uniforme en $a \in \mathbb{R}$ por Weierstrass' de la prueba, por lo que los límites laterales de esta expresión existe y está dada por $$ \lim_{a \to 0^{\pm}} \frac{J(a) - J(0)}{a} = \mp \int \limits_0^\infty \frac{1-\cos(y)}{y^2} \, \mathrm{d} y = \mp \frac{\pi}{2} \, .$$ Ellos no están de acuerdo, sin embargo, por lo $J$ no es diferenciable en el origen como se reivindica. Puesto que la integral $$ \int \limits_0^\infty \frac{- x \sin(a x)}{1+x^2} \, \mathrm{d} x$$ converge uniformemente en $a \in [r,\infty)$ e $a \in (-\infty,r]$ por cada $r>0$ por Dirichlet en la prueba, $J$ es diferenciable en a$\mathbb{R} \setminus \{0\}$ y podemos intercambio de diferenciación y de integración para obtener $$ J'(a) = \int \limits_0^\infty \frac{- x \sin(a x)}{1+x^2} \, \mathrm{d} x$$ para $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Por el bien de la simplicidad, nos centraremos en $a > 0$ a partir de ahora. Nos gustaría calcular $\lim_{a \to 0^+} J'(a)$ . Simplemente intercambiando el límite y el signo integral (y concluyendo que el límite es cero) no está permitido aquí, ya que el integrando no converge a cero uniformemente $a \to 0^+$ ! En su lugar, tenemos la necesidad de volver a escribir la derivada (como lo hizo en la pregunta): $$ J'(a) = - \frac{\pi}{2} + \int \limits_0^\infty \frac{\sin(a x)}{x (1+x^2)} \, \mathrm{d} x \, , \, a > 0 \, . $$ Ahora tenemos convergencia uniforme (el resto de la integral está delimitado por $\frac{\pi}{2} a$) y puede llegar a la conclusión de que $\lim_{a \to 0^+} J'(a) = - \frac{\pi}{2}$ (el límite es igual al derecho derivado $\partial_+ J(0)$ en el origen).

Tenemos que calcular la segunda derivada de la segunda forma de $J'$ como bueno, ya que sólo existe la consiguiente integral es (localmente) uniformemente convergente. Nos encontramos con $J''(a) = J(a)$ para $a > 0$, lo $J \vert_{[0,\infty)}$ es la única solución del problema de valor inicial $$ \begin{cases} f''(a) &= f(a) \, , \, a > 0 \\ f(0) &= \frac{\pi}{2} \\ \partial_+ f(0) &= - \frac{\pi}{2} \end{cases} \, .$$ Por lo tanto, $J(a) = \frac{\pi}{2} \mathrm{e}^{-a}$ tiene por $a \geq 0$ y el resultado arbitrario $a \in \mathbb{R}$ sigue por la simetría.

Tenga en cuenta que mientras que la cuestión de la convergencia uniforme debe ser considerado en el cómputo de $J''$ , en cualquier caso, el problema con $J'(0)$ puede ser evitado por mostrar que $\lim_{a \to \infty} J(a) = 0$ sostiene (usando integración por partes) y, a continuación, la obtención de $J \vert_{[0,\infty)}$ como la solución única para el problema de valor de frontera $$ \begin{cases} f''(a) &= f(a) \, , \, a > 0 \\ f(0) &= \frac{\pi}{2} \\ \displaystyle{\lim_{a \to \infty}} f(a) &= 0 \end{cases} \, .$$