Para $c\in\mathbb{F}_p^*$, el cúbico $t^3-3ct^2-3t+c$ tiene exactamente una raíz $r\in\mathbb{F}_p$. Expresa $r$ en términos de $c$ sin raíces cúbicas.

Question

Para algún $c \in \mathbb{F}_p^*$ considera el polinomio $$ f(t) = t^3 - 3ct^2 - 3t + c $$ para $p \equiv 1$ (mod $3$) y $p \equiv 3$ (mod $4$). En este caso $3$ es un residuo cuadrático módulo $p$ y por lo tanto el discriminante $\Delta = 2^23^3(c^2+1)^2$ de $f$ también es un residuo cuadrático módulo $p$.

Así que $f$ tiene exactamente una raíz $r \in \mathbb{F}_p$. Para $c=1$ la raíz es $r = -1$. ¿Cómo expresar explícitamente $r$ a través de $c$ en el caso general sin usar la fórmula de Cardano (es decir, sin raíces cúbicas)?

Answer 1

De hecho es posible expresar la raíz como una función racional de $\ c\ $. Esto se sigue del hecho que$^{\mathbf{\dagger}}$, bajo las condiciones establecidas, el polinomio $\ t-r\ $ debe ser el mcd de los polinomios $\ f\left(t\right)\ $ y $\ t^{p-1}-1\ $. En el algoritmo de Euclides para calcular el mcd, los coeficientes de los polinomios iniciales $\ t^{p-1}-1\ $ y $\ f\left(t\right)\ $ son funciones racionales de $\ c\ $ (con coeficientes en $\mathbb F_p\ $), y es bastante fácil demostrar que el resto de un polinomio $\ \pi_1(t)\in \mathbb F_p[t]\ $ módulo otro, $\ \pi_2(t)\ $, tiene coeficientes que son funciones racionales de esos de $\ \pi_1(t)\ $ y $\ \pi_2(t)\ $. De esto se sigue que los coeficientes del mcd deben ser funciones racionales de los polinomios iniciales, y por lo tanto de $\ c\ $.

En la práctica, la función se puede encontrar para cualquier $\ p\ $ dado tratando $\ c\ $ como una incógnita, y calculando el mcd en $\ \mathbb F_p(c)[t]\ $, donde $\ \mathbb F_p(c)\ $ es el campo de funciones racionales en $\ c\ $ sobre $\ \mathbb F_p\ $. Dado que $\ c\ $, como un elemento de $\ \mathbb F_p^*\ $, es una raíz del polinomio $\ t^{p-1}-1\ $, los monomios, $\ c^q\ $, de grado $\ p-1\ $ o superior pueden ser reemplazados por $\ c^{q\,\mathrm{mod}\,(p-1)}\ $ a medida que el cálculo avanza. El denominador de la función racional obtenida por este procedimiento no puede tener un factor lineal que no sea $\ c\ $, ya que si lo tuviera, siendo $\ c-\rho\ $, digamos, con $\ \rho \ne 0\ $, entonces el grado de $\ \gcd\left( t^{p-1} - 1, t^3 - 3\rho t^2 - 3t^2 + \rho\right)\ $ tendría que ser cero.

Aquí están las expresiones para $\ r\ $ para los casos $\ p=7,19\ $ y $\ 31\ $, respectivamente:

$$\frac{3}{5c^5+5c^3+c}\\ \ \\ \frac{\small 4c^{14}+3c^{12}+10c^{10}+12c^8+14c^6+4c^4+8c^2+7}{\small 17c^{17}+17c^{15}+18c^{13}+4c^{11}+2c^9+11c^7+17c^5+13c^3+10c}\\ \ \\ \frac{\tiny 15c^{26}+5c^{24}+5c^{22}+16c^{20}+21c^{18}+2c^{16 }+29c^{14}+29c^{12}+24c^{10}+20c^8+5c^6+14c^4+14c^2+11}{\tiny 29c^{29}+29c^{27}+17c^{25}+5c^{23}+18c^{21}+17c^{19}+2c^{17}+25c^{15}+12c^{13}+9c^{11}+12c^7+3c^5+12c^3+3c}$$

El patrón observable aquí en los términos principales de los numeradores y denominadores continúa a través de los primos $\ 43\ $ y $\ 67\ $, el primer término del numerador siendo $\ (p-4)\,c^{p-5}\ $ en todos los casos excepto $\ p=7\ $, y los dos primeros términos del denominador siendo $\ (p-2)\,c^{p-2} + (p-2)\,c^{p-4}\ $ en todos los casos.

El paquete de software que utilicé para realizar los cálculos de mcd se bloqueó cuando intenté $\ p=79\ $, así que no he examinado ningún primo más allá de $\ 67\ $.

$\mathbf\dagger$ O incluso desde el simple hecho de que es una función de $\ c\ $, como señala Eric Wofsey en los comentarios abajo.

Actualización: Como observa Eric Wofsey en el comentario a continuación, la raíz también se puede expresar como una función polinómica de $\ c\ $. Si dejamos $\ c_r = \frac{r^3-3\,r}{3\,r^2-1}\ \mathrm{mod}\ p\ $, el valor de $\ c\ $ correspondiente a la raíz $\ r\ $, una expresión bien conocida para tal polinomio es: $$\sum_{r\in {\mathbb F}_p^*} r \prod_{u\in{\mathbb F}_p^*\setminus\{c_r\}} \frac{c-u}{r-u}\ .$$ Para $\ p=7,19\ $ y $\ 31\ $ los polinomios son: $$5\,c^5 + 4\,c^3 + 4\,c \\ \ \\ 8\,c^{17}+6\,c^{13}+4\,c^{11}+2\,{c^9}+7\,c^7+16\,c^5+5\,c^3+8\,c\\ \ \\ {\tiny 3c^{29}+22c^{27}+5c^{25}+12c^{23}+12c^{21}+15c^{19}+27c^{17}+5c^{15}+16c^{11}+14c^9+3c^7+22c^5+17c^3+12c} $$