¿La ruta geodésica más corta o la ruta más rápida?

Question

Estoy un poco confundida con geodesics : son el camino más corto (en la distancia) o la ruta más rápida (en el tiempo). Por ejemplo, Vamos a tomar un triángulo ABC. Estoy usando un coche. Estoy en $A$ y tengo que ir en $B$. El camino de $AB$ es de 2 km de largo, pero puedo ir a 10 km/h, donde como el camino que camino a través de C tiene 4 km de longitud, pero es una manera libre y puedo ir a 100 km/h.

Claramente, el camino a través de C es más rápido, pero el camino AB es más corto. Qué va a ser de la línea Geodésica ? La ruta de acceso a través de $C$ o el camino de $AB$ ?

Answer 1

La primera nota que Geodésica que no tiene que ser el camino más rápido entre dos puntos: Por ejemplo, hay dos geodesics en la esfera de decir que el polo norte a decir de Londres. El camino más corto es el que va abajo de la hora del meridiano desde el polo norte a Londres. Pero va desde el polo norte hasta el polo sur a lo largo de ese mismo meridiano y, a continuación, que va desde el polo sur a Londres a lo largo de la ruta más corta (de nuevo a lo largo del meridiano de Greenwich) es también una geodésica desde el polo Norte a Londres.

Sin embargo, el camino más corto entre dos puntos (si es un camino más corto que existe!) siempre es una geodésica.

Ahora a tu pregunta: ¿qué se entiende por distancia? En mi ejemplo anterior de "distancia" significaba la habitual distancia en una esfera. Sin embargo, usted puede elegir lo que quieres decir por "distancia" mediante la especificación de una métrica. A grandes rasgos una métrica que permite medir longitudes (y ángulos, también) en el espacio. La métrica puede medir la distancia entre los puntos, pero usted puede modificar su métrica para tomar en cuenta de que algo se está desacelerando el movimiento.

Answer 2

Es la más corta, pero sólo a nivel local.

Pensar acerca de $\mathbb{S}^{2}$ con la métrica inducida por la topología euclidiana, a continuación, gran círculos son geodésica. Tomar dos puntos de $A=(0,0,1)$, $B=(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$ entonces ambos $\alpha(t)=(0,\sin(t),\cos(t))$, $t\in[0,\frac{\pi}{3}]$ e $\beta(t)=(0,\sin(t),\cos(t))$, $t\in[0,-\frac{5}{3}\pi]$, son geodésica, sino $\alpha$ es más corto de $\beta$.

Por otra parte, es fácil mostrar que existen caminos más cortos de lo $\beta$ que no geodésica.

Answer 3

Una geodésica (resp. una curva) $\gamma:[0,T]\to M,t\mapsto\gamma(t)$ puede ser reparametrized por $\tilde{\gamma}:[0,\frac{T}{c}],t\mapsto\gamma(ct)$, la curva resultante sigue siendo una geodésica (resp. una curva) sino $c$ veces más rápida que la $\gamma$. Así, ya se habla de "más rápido de las curvas" puede ser confuso, ya que depende de las parametrizaciones que usted elija, usted puede :

• elegir un reparametrization con la unidad de velocidad (que es $|\gamma'(t)|\equiv 1$, existe y para geodesics incluso es uno de los reparametrizations de la forma $t\mapsto\gamma(ct)$ desde una geodésica siempre tiene velocidad constante: $$D_t|\gamma'|^2=D_t(\gamma',\gamma')=2(\gamma',D_t\gamma')=2(\gamma',0)=0,$$ y por lo $|\gamma'|$ es constante),

• leer el $\tilde T$ obtenido en el nuevo intervalo de $\tilde\gamma:[0,\tilde T]\to M$ (que ahora corresponde a un recorrido a pie!),

• compruebe que geodesics son (localmente) es el camino más corto, que es que si hay una unidad de velocidad de la curva de $\gamma$ unirse a $a$ e $b$ tal que $T_\gamma\leq T_\beta$ para todos los demás de la unidad de velocidad de las curvas de $\beta$ unirse a $a$ e $b$, a continuación, $\gamma$ es una geodésica.