La probabilidad de que la suma de recíprocos enteros sea mayor que un número fijo.

Question

Supongamos $n$ números son dibujados de forma independiente de la lista de $m$ enteros $\{1,2,3,\ldots ,m\}$ uniformemente al azar. Indicar estos $n$ selecciones como $x_1,x_2,\ldots x_n$. Tenga en cuenta que $n\geq m$ es posible. Fijar un entero positivo $C$. Estoy tratando de determinar la probabilidad de que $$\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_n}\geq C.$$

Sin embargo no estoy realmente seguro de por dónde empezar, como no he hecho mucho trabajo con una probabilidad de antes.

Hay alguna manera de conseguir una probabilidad?

Answer 1

Creo que no hay nada excepto el recuento de los casos de simulación o para pequeñas $n$. Para grandes $n$ puede utilizar la aproximación normal, pero sospecho $n$ tiene que ser bastante grande para que funcione. El promedio recíproco es $\frac {H_m}m\approx \frac {\log m + \gamma}m$. El problema es que la varianza de sus números es grande. La suma será dominado por cómo muchas veces usted escoja $1$ e $2$ porque los recíprocos de todos los números altos son sobre el mismo y pequeños. El número esperado de $1$s es $\frac nm$ con una variación de alrededor de $\sqrt{\frac nm}$.