Vamos a ser $G \subset GL_n(\mathbb{C})$ que hay algunos $r \in \mathbb{N}^{*}$ e $g_1, \ldots, g_r \in G$ así que para todos los $g \in G$, $g$ se conjuga con algunos $g_i, i \in [[1, r]]$ en $G$.
Es $G$ finito? Me siento como que sí, he probado a meter el estabilizador, pero no tengo ninguna razón para pensar que sería finito.
Sí, $G$ debe ser finito.
Hay sólo un número finito de grupos finitos (hasta el isomorfismo de curso) con un acotado número de clases conjugacy (véase aquí para una prueba).
Pero es bien sabido que los grupos lineares son residual finito, y por tanto si hubo una infinita ejemplo, entonces habría arbitrariamente grande finito cocientes, cada uno con sólo una $r$ clases conjugacy.
$G$ debe ser finito. He aquí una prueba de trabajo para $G$ arbitrarias (Derek prueba sólo funciona al $G$ es finitely generado).
Pasando a un número finito índice de subgrupo, podemos suponer que $G$ se ha conectado Zariski de cierre.
El supuesto implica que la $G$ tiene un número finito de huellas, y mediante la conexión de los Zariski de cierre, tiene un solo rastro. Por lo $\mathrm{Tr}(g(g'-g''))=0$ para todos los $g,g',g''\in G$.
Si suponemos, además, que los $G$ es irreductible, y por lo tanto linealmente genera el espacio de las matrices, ya que el Seguimiento de los rendimientos de un bilineal no degenerada forma, podemos deducir que $g'-g''=0$ para todos los $g',g''\in G$, es decir, $G=\{1\}$.
En general, esto se aplica a la proyección en todos los irreductible de la diagonal de bloques, que son por lo tanto de una sola dimensión.
En otras palabras, esto demuestra que si $G$ es un subgrupo de $\mathrm{GL}(n,\mathbf{C})$ con un número finito de huellas, a continuación, $G$ tiene un índice finito subgrupo $H$ (es decir, la intersección con la identidad de los componentes de su Zariski de cierre) que se conjuga con un grupo de triangular superior unipotentes matrices.
Si $G$ tiene un número finito de clases conjugacy, por lo que no $H$. A continuación, $H$ tiene una serie normal en la que todos los subquotients son de torsión libre de abelian grupos (que hereda esta desde el grupo de unipotentes triangular superior matrices). Esto implica que si $H\neq\{1\}$ a continuación se tiene una infinita abelian cociente (es decir, un trivial de torsión libre de abelian el cociente). Esto implica que $H$ tiene un número infinito de clases conjugacy.
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