Calcular

Question

PS

Intenté simplificar la suma y obtuve $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{6}{k(k+1)(k+3)}$ pero no puedo usar esto para simplificar los términos. Además, intenté amplificar con $\frac{2}{k}-\frac{3}{k+1}+\frac{1}{k+3}$ y obtuve $k+2$ $ pero los términos Tampoco simplificar.

Answer 1

Insinuación

PS

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\bbox[10px,#ffd]{\sum_{k = 1}^{\infty}{6 \over k\pars{k + 1}\pars{k+ 3}}} = 6\sum_{k = 1}^{\infty}2\int_{0}^{1}\dd u_{1}\int_{0}^{u_{1}}\dd u_{2}\, {1 \over \pars{k + u_{1} + 2u_{2}}^{3}} \\[5mm] = &\ 12\int_{0}^{1}\dd u_{1}\int_{0}^{u_{1}}\dd u_{2}\,\ \underbrace{\sum_{k = 1}^{\infty}{1 \over \pars{k + u_{1} + 2u_{2}}^{3}}} _{\ds{-\Psi''\pars{1 + u_{1} + 2u_{2}}/2}}\qquad \pars{~\Psi:\ Digamma\ Function~} \\[5mm] = &\ -3\int_{0}^{1}\dd u_{1}\bracks{\Psi\, '\pars{1 + 3u_{1}} - \Psi\, '\pars{1 + u_{1}}} \\[5mm] = &\ -3\bracks{{1 \over 3}\,\Psi\pars{1 + 3u_{1}} - \Psi\pars{1 + u_{1}}}_{\ 0}^{ 1} = -\ \Psi\pars{4} + 3\Psi\pars{2} + \Psi\pars{1} - 3\Psi\pars{1} \\[5mm] = &\ 3\ \underbrace{\bracks{\Psi\pars{2} - \Psi\pars{1}}}_{\ds{=\ 1}}\ -\ \underbrace{\bracks{\Psi\pars{4} - \Psi\pars{1}}} _{\ds{=\ {11 \over 6}}}\ =\ \bbx{7 \over 6} \end{align}

Tenga en cuenta que $\quad\left\{\begin{array}{rclcl} \ds{\Psi\pars{2}} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{1} + {1 \over 1}} && \\[1mm] \ds{\Psi\pars{3}} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{2} + {1 \over 2}} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{1} + {3 \over 2}} \\[1mm] \ds{\Psi\pars{4}} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{3} + {1 \over 3}} & \ds{=} & \ds{\Psi\pars{1} + {11 \over 6}} \end{array}\right.$