Verificar si un polinomio dado es un polinomio primitivo

Question

Dada una polinomia: $f(x) = x^2 + 2x + 2$ sobre $GF(3)$ . Quiero saber si puedo usarlo para construir $GF(3^2)$ .

Mi enfoque:

• Esta ecuación satisface la primera condición: Un polinomio primitivo es irreducible.
• La segunda condición que estoy tratando de confirmar es que puedo usarla para generar $GF(3^2)$ .

$ \alpha ^2 + 2 \alpha + 2 \rightarrow \alpha ^2 = \alpha + 1$ .

• $ \alpha ^1 = \alpha $

• $ \alpha ^2 = \alpha +1$

• $ \alpha ^3 = \alpha * \alpha ^2 \rightarrow1 + 2 \alpha $

• $ \alpha ^4 = 2 $

• $ \alpha ^5 = 2 \alpha $

• $ \alpha ^6 = \alpha +2$

• $ \alpha ^7 = 1$

  Ahora aquí $ \alpha ^8$ debería ser igual a $1$ en lugar de $ \alpha ^7 .$

• $ \alpha ^8 = \alpha $

Lo que estoy haciendo mal, cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

Me parece que los cálculos de nuestro OP Khan Saab sobre los poderes de $\alpha$ están bien a través de $\alpha^5$ pero hay un error en $\alpha^6$ . Con

$\alpha^2 = \alpha + 1, \tag 1$

que tenemos, correctamente,

$\alpha^5 = 2 \alpha; \tag 2$

entonces

$\alpha^6 = 2 \alpha^2 = 2 \alpha + 2, \tag 3$

no $\alpha^6 = \alpha + 2$ ¡!

Continuando:

$\alpha^7 = 2\alpha^2 + 2\alpha = 2(\alpha + 1) + 2\alpha = \alpha + 2; \tag 4$

$\alpha^8 = \alpha^2 + 2\alpha = \alpha + 1 + 2\alpha = 1! \tag 5$

fácil, ¡ya sabes cómo debe ser!