así que mi profesor mencionó que cuando una normativa espacio es finito dimensionales de la norma y la debilidad de las topologías de acuerdo. Para mostrar las topologías de acuerdo en que debería ser suficiente para demostrar que tienen el mismo convergente de redes. Puedo ver cómo si la red de $x_\alpha\rightarrow x$ en la norma de la topología, a continuación, converge en la topología débil. Es decir, para arbitrario $f\in X^*$ sabemos por la continuidad que $f(x_\alpha)\rightarrow f(x)$, lo que significa que $x_\alpha\rightharpoonup x$. Sin embargo, no puedo verlo de otra manera. Alguien tiene alguna intuición de por qué la convergencia en la topología débil implica la convergencia en la norma de la topología? Estoy asumiendo que esta dirección es donde la dimensión finita de nuestro espacio viene a jugar. Gracias de antemano.
Respuestas
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Podemos identificar nuestro espacio de $X$ con $\mathbb{R}^n$, con la norma de la topología de ser el habitual de la topología Euclidiana sobre $\mathbb{R}^n$ (ya que todas las normas en un número finito de dimensiones del espacio son equivalentes). Ahora si $x_\alpha\to x$ débilmente, a continuación, $f_i(x_\alpha)\to f_i(x)$ donde $f_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es el $i$th coordinar funcional. Pero eso solo significa que $x_\alpha$ converge a $x$ en cada coordenada, lo que implica $x_\alpha$ converge a $x$ en la topología Euclidiana. Por lo tanto $x_\alpha\to x$ en la norma de la topología.
Más en general, un finito-dimensional espacio vectorial, sólo admite un espacio vectorial topológico de la estructura (es decir, sólo uno de Hausdorff topología tales que la suma y la multiplicación escalar son continuas). Esto es un poco más complicado de demostrar; ver esta respuesta , por ejemplo
Otra manera de hacer esto es simplemente volver a las definiciones. Deje $\epsilon>0,$ e $x_0\in X$. Esto es suficiente para mostrar que cualquier bola de $B(x_0,\epsilon)$ es levemente abierta. Podemos usar $\|\cdot\|_{\infty}$ como nuestra norma. Y ya que la traducción es un homeomorphism, podemos tomar la $x_0=0$. Elegir una base $(e_i)^n_{i=1}$ para $X$. A continuación, $x=\sum^n_{i=1} x_ie_i$ por cada $x\in X$ y para cada una de las $1\le i\le n,$ tenemos funcionales $e_i^*:X\to \mathbb C:x\mapsto x_i.$
A continuación, $B_{\epsilon }=\left \{ x:\left \| x\right \|<\epsilon \right \}=\left \{ x:\forall\ 1\le i\le n,\ |x_i|<\epsilon \right \},\ $ que no es nada más que el débil conjunto abierto $\left \{ x:\forall\ 1\le i\le n,\ |e_i^*(x)|<\epsilon \right \}.$
