Triángulo equilátero que tiene sus vértices en los centros de $3$ diferentes cuerdas de un círculo

Question

$A$ es el centro del círculo. El resto de los datos están en el diagrama. Utilizando el geogebra, es fácil ver que $\triangle EZH$ es equilátero, pero no puedo probarlo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Utilizaremos números complejos. Sea $\omega =e^{i\frac{\pi}{3}}\implies \omega^3=-1\implies \omega^2-\omega+1=0$ . Sea $O$ sea el centro de la circunferencia y que la circunferencia sea la circunferencia unitaria. Sean los puntos $a, a\omega, b, b\omega, c$ y $c\omega$ en el orden contrario a las agujas del reloj, como se muestra en la figura. Por lo tanto, $D=\frac{a\omega+b}{2}$ y de manera similar $E$ y $F$ .

Queremos demostrar que $\triangle DEF$ es equilátero. Esto es cierto ya que $$\frac{D-E}{F-E}=\frac{a\omega+b-b\omega-c}{c\omega+a-b\omega-c}=\frac{a\omega-b\omega^2+\omega^3c}{a-b\omega+\omega^2c}=\omega$$

$\blacksquare$