¿Es posible definir una función$f$ de real positivo a real positivo tal que$f(f(x)) = {1 \over x}$

Question

Es posible definir una función de $f$, de los reales positivos a real positivo tal que $f(f(x)) = {1 \over x}$?

La motivación viene de $1990$ IMO problema $4$, que uno paso consiste en definir una función más de los racionales positivos. En los contables espacio racional se puede utilizar el truco que divide los números en dos contables de las listas y mapa de uno a otro utilizando diferentes funciones.

Un comentario en el video de ese problema sugiere un nuevo problema: si la función puede ser extendido a los números reales positivos? Básicamente, tenemos que encontrar una manera de partición de los reales en dos sets y tienen dos funciones de mapeo de un conjunto a otro situado en un bijective forma y la composición de las dos funciones en orden dará ${1 \over x}$. Mi pensamiento es que esto parece imposible, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Dada una función de $f:\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0}$, definir una función $g:\mathbb R\to \mathbb R$ por $g(x)=\log f(e^x)$. A continuación, $f$ satisface la ecuación funcional $f(f(x))=\frac1x$ si y sólo si $g$ satisface la ecuación funcional $g(g(x))=-x$. La última ecuación es tratado en detalle aquí:

Encontrar una función real $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f(f(x)) = -x$?

Answer 2

Tenga en cuenta que $f^4(x)=x$ (la operación que aquí es la composición). Cada elemento es parte de una longitud de 4 órbita, yendo $x\to y\to \frac1x\to \frac1y\to x$. Bien, bien, hay una excepción a$f(1)=1$ con una longitud-1 en órbita.

Ahora, intuitivamente, que no debería ser demasiado difícil de dividir el positivo de reales en órbitas como este. El truco es hacerlo de forma explícita.

Podemos enviar abrir intervalos para abrir intervalos sin problemas. Si tomamos cuatro intervalos de esta manera, entonces tenemos que en las otras tres estaciones, uno de los cuales es $1$ - problemas. Para resolver esto, en realidad, vamos a necesitar el uso de un número infinito de intervalos. Vamos a elegir algo cómodo: intervalos de $(\frac1{n+1},\frac1n)$ e $(n,n+1)$ para los números enteros $n$.

Si $n$ es impar y $n<x<n+1$, vamos a $f(x)=x+1$.
Si $n$ es incluso y $n<x<n+1$, vamos a $f(x)=\frac1{x-1}$.
Si $n$ es impar y $\frac1{n+1}<x<\frac1n$, vamos a $f(x)=\frac1{\frac1x+1}=\frac{x}{x+1}$.
Si $n$ es incluso y $\frac1{n+1}<x<\frac1n$, vamos a $f(x) = \frac1x - 1$.

Estos ciclo de la forma en la que queremos; comenzando en un $x$ en $(n,n+1)$, obtenemos $x+1$, $\frac1x$, e $\frac1{x+1}$ en la secuencia antes de regresar a $x$.

Que las hojas de los extremos enteros y los recíprocos de los números enteros.

Deje $f(1)=1$.
Si $n$ es incluso, deje $f(n)=n+1$.
Si $n$ es impar y mayor que $1$, vamos a $f(n)=\frac1{n-1}$.
Si $n$ es incluso, deje $f(\frac1n)=\frac1{n+1}$.
Si $n$ es impar y mayor que $1$, vamos a $f(\frac1n)=n-1$.

OK, nos podría haber hecho esos intervalos abiertos en la anterior definición de medio abierto. De todos modos, esta es una función explícita definida para todos los positivos $x$ que funciona.

Answer 3

Parece que es posible.

Deje $f(1)=1$ . Ahora empareje un número $a$ con otro número $b$ tal que $1>a,b>0$ , deje que $$f(a)=b, f(b)=\frac1a, f(\frac1a)=\frac1b,f(\frac1b)=a$$ pair up all numbers between $ 0$ and $ 1 $ termine el problema.