¿Es posible obtener una expresión algebraica para $\sin 1°$ que no contenga raíces de valores negativos, de modo que pueda evaluarse íntegramente utilizando sólo números reales?
Por ejemplo, este documento da algunas expresiones algebraicas para ello, pero todas implican números complejos.
Si esto fuera posible, también se podría obtener una expresión algebraica para $\sin(10^o)$ que no contiene números complejos. Es una de las tres raíces reales de la cúbica $8 z^3 - 6 z + 1$ . Ahora vea casus irreducibilis Dado un cúbico con coeficientes racionales que es irreducible sobre los racionales y tiene tres raíces reales, es imposible expresar las raíces usando radicales reales.
De forma más general, los valores trigonométricos (cuando están definidos) de los ángulos de grado racional pueden expresarse en términos de radicales reales si y sólo si los valores son números reales construibles, un resultado que Andrzej W. Mostowski demostró en este documento de 1948 aunque el resultado era conocido con anterioridad, posiblemente por el propio Mostowski, aunque no lo dice en el artículo. (Este artículo apareció en el primer volumen de Coloquio de Matemáticas y en los primeros volúmenes de esta revista se publicaban a menudo artículos de autoría de los estudiantes y no de investigación).
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Parece que es difícil discutir el uso de los números complejos aquí, ya que, por lo que puedo decir de las fuentes dadas, parece ser de sentido común reducir todo el problema de nuevo a $\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)$ lo que nos deja una ecuación cúbica en $\sin(x)$ $($ suponiendo que $\sin(3)$ como se sabe $)$ . Al resolverlo se invocan los números complejos de forma natural debido a las fórmulas generales de resolución de las ecuaciones cúbicas.